Kompakt Uzayların Karakterizasyonuna Dair-I

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{B}\subseteq 2^X$ olmak üzere
$$\mathcal{B}, \ \tau \text{ için baz}$$$$\Rightarrow$$$$(X,\tau), \text{ kompakt uzay}$$$$\Leftrightarrow$$$$(\forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})[X=\cup\mathcal{A}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^*)].$$

Yani bir topolojik uzayın kompakt olması için gerek ve yeter koşul her BAZSAL açık örtüsünün sonlu bir altörtüsünün olmasıdır.

Answer 1

Kanıt: $(\Rightarrow):$ $(X,\tau)$ kompakt uzay; $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$  ve  $X=\cup\mathcal{A}$  yani  $\mathcal{A}$  ailesi, $X$  kümesinin bir bazsal açık örtüsü olsun.

$\left.\begin{array}{rr}(\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(X=\cup\mathcal{A}) \\ \\ \mathcal{B}, \  \tau\text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{B}\subseteq\tau  \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{rr} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} (\mathcal{A}\subseteq \tau)(X=\cup\mathcal{A}) \\ \\ (X,\tau), \text{ kompakt uzay}\Rightarrow X, \ \tau \text{-kompakt}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

 

$\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^*).$

 

$(\Leftarrow):$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $X=\cup\mathcal{A}$  yani  $\mathcal{A}$  ailesi, $X$  kümesinin bir açık örtüsü olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (\mathcal{A}\subseteq \tau)(X=\cup\mathcal{A}) \\ \\ \mathcal{B}, \  \tau\text{ için baz} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{rr} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} (\forall A\in\mathcal{A})(\exists \mathcal{B}_A\subseteq \mathcal{B})(X=\cup_{A\in\mathcal{A}}A=\cup_{A\in\mathcal{A}}(\cup\mathcal{B}_A)) \\ \\ \mathcal{A}^*:=\cup\{\mathcal{B}_A|A\in\mathcal{A}\}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

 $\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{B})(X=\cup\mathcal{A}^*) \\ \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^{**}\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^{**}|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^{**}).$

Comments

$f:\cal{A}^*\to\cal{A}\quad f$ $(B)= A,\quad (B\subseteq A,\ A\in\cal{A})$ olacak şekilde bir fonksiyon olmak üzere $\cal{A}^{**}=f(\cal{A}^{*})$ olmalı herhalde.

---

Evet hocam. Kanıtın son satırında bir düzenleme yapmam gerekiyor. Geniş bir zamanda düzenleyeceğim.