Soru : Her $x,y\in\mathbb{R}$ için $f(f(x)+y)=f(x+y)+f(0)$ eşitliğini sağlayan tüm monoton artan reel değerli fonksiyonları bulunuz.
Çözüm : $f(f(x)+y)=f(x+y)+f(0)$ eşitliğinde $y=-f(x)$ yazarsak, $f(0)=f(x-f(x))+f(0)$ eşitliğinden $f(x-f(x))=0$ olur.
Bir $x_0\in\mathbb{R}$ için $x_0-f(x_0)=k$ olsun. $f(k)=0$ olur. $f$ monoton artan bir fonksiyon olduğundan $f$ fonksiyonu birebir olmalıdır. Dolayısıyla,
$f(x-f(x))=f(k)=0$ ise $x-f(x)=k$ olur. Böylece, herhangi $k\in\mathbb{R}$ için $f(x)=x-k$ bulunur.
Benim aklıma takılan $f$ fonksiyonunu birebir yapan neydi? $x_0-f(x_0)=k$ ve $f(k)=0$ oldu. ardından $x_0\not= x_1$ için $x_1-f(x_1)=l$ alalım o zaman $f(l)=0$ olur. Sonuçta $f(k)=f(l)$ olur. $k$ ve $l$'nin eşit olup olmadığını nasıl anladıkta fonksiyon birebir dedik ?