Tanım: $(X,\preceq)$ poset, $A\subseteq X$ ve $x\in A$ olmak üzere eğer $x,$ $A$ kümesi içinde kendisiyle kıyaslanabilen her elemandan önce (sırasıyla sonra) geliyorsa $x$ elemanına $A$ kümesinin bir minimal (sırasıyla maksimal) elemanı denir ve $A$ kümesinin minimal elemanlarının oluşturduğu küme $m(A) (\text{sırasıyla } M(A))$ ile gösterilir. Buna göre $x,$ $A$ kümesinin bir minimal (sırasıyla maksimal) elemanıysa ya $A$ kümesinin diğer elemanları ile kıyaslanamaz ya da kıyaslanabiliyorsa onlardan önce (sırasıyla sonra) gelir.
$$x, A\text{'nın minimal elemanı}$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$ (\forall y\in A)(x\neq y\to [x\preceq y\vee (x\npreceq y\wedge y\npreceq x)])$$
$$\Leftrightarrow$$
$$ (\forall y\in A)(x\neq y\to [\underset{1}{\underbrace{(x\preceq y\vee x\npreceq y)}}\wedge (x\preceq y\vee y\npreceq x)])$$
$$\Leftrightarrow$$
$$ (\forall y\in A)(x\neq y\to [x\preceq y\vee y\npreceq x])$$
$$\Leftrightarrow$$
$$ (\forall y\in A)([x\npreceq y\wedge y\preceq x]\to x=y)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$ (\forall y\in A)[\underset{0}{\underbrace{(x\npreceq y \to x=y)}} \vee (y\preceq x \to x=y)]$$
$$\Leftrightarrow$$
$$ (\forall y\in A)(y\preceq x \to x=y)$$
$$m(A):=\{x\in A| x, A\text{'nın minimal elemanı}\}$$
$$=$$
$$\{x\in A|(\forall y\in A)(y\preceq x \to x=y)\}.$$
Benzer işler maksimal için de yapılabilir.