$a,b,q_i,r_i\in\mathbb{Z}$ olmak üzere
$$a=bq_1+r_1$$
$$q_1=bq_2+r_1$$
$$q_2=bq_3+r_1$$
$$\vdots$$
ise $a$ sayısı hakkında ne söylenebilir?
Bu problemle şu soruyu çözmeye çalışırken karşılaştım
Soru:
$3^{11}$ sayısı en çok sayıda ardışık pozitif tamsayının toplamı olarak yazıldığında ilk sayı kaç olur?
Soruyu şöyle çözmeye çalıştım:
$(k+1)+(k+2)+\cdots+(k+m)=3^{11}$ olsun. $3^{11}=\dfrac{m.(2k+m+1)}{2}$ olur. m sayısın en büyük değeri için $m$'ye alabileceği en büyük sayıyı (tek sayı olmak zorunda çünkü $3^{11}$ tek bir sayı) verelim.
$2x+1$, $m$'nin alabileceği en büyük değer olsun. O zaman
$(2x+1)(k+x+1)=3^{11}$ olur.
$2x+1$ sayısı $3$'ün katı olduğundan $x=3x_1+1$ olur. Bunu denklemde yerine yazalım.
$3(2x_1+1)(k+x+1)=3^{11}$ olur. $2x_1+1$ sayısı da $3$'ün katı olması gerektiğinden $x_1=3x_2+1$ olur. Bunu böyle devam ettirirsek $m$ sayısı sonsuza gitmezmi? Çok alakası var mı konuyla bilmiyorum ama a sayısı şöyle ifade edilebiliyor galiba(emin değilim).
$f(x)=bx+r_1 \Rightarrow a=fofo\cdots of(q_1)$
Soruyu çözerken elbet bir yerde hata yaptım ve nerede olduğunu bilemiyorum. Sorunun asıl konusu olan $a$ sayılarının sonsuza gideceğini düşündüm ama soruda $3^{11}$ sayısının sonsuzlukla alakası olmadığından dolayı şüpheliyimde. Bu $a$ sayısı hakkında ne söylenebilir acaba?