$div\left( af+bg\right) =adivf+bdivg$ olduğunu gösterelim.

Question

Divergens Fonksiyonu

Tanım:

$div:{\chi}\left( E^{n}\right) \rightarrow {\chi}\left (E^{n}\right)$

              $X\rightarrow div\left( X\right)$

şeklinde tanımlı bir lineer fonksiyondur ve

              $X=\sum^{n}_{i=1}a_{i}\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}\in{\chi}\left (E^{n}\right)$

olmak üzere

              $div\left( x\right)=\sum ^{n}_{i=1}\dfrac {\partial a_{i}}{\partial x_{i}}=\langle \nabla ,x\rangle$

şeklindedir.

Başlıktaki soru için $C\left( E^{n}, \mathbb{R} \right)$ ve ${\chi}\left (E^{n}\right)$ vektör uzayları verilsin.

Answer 1

$div\left( af+bg\right)=\sum \dfrac {\partial \left( af+bg\right) }{\partial x_{i}}=\begin{aligned}a \sum\dfrac {\partial f_{i}}{\partial xi}+b\sum \dfrac{\partial g_{i}}{\partial dx_{i}}=adivf+bdivg\\ \cdot \end{aligned}$

Yani Divergens dönüşümü lineer bir dönüşümdür.

Comments

Divergents fonksiyonunun nereden nereye tanımlandığını belirtmekte fayda var bence. $a, b$ hangi kümeden alınıyor? $f$ lerin ne olduğunu belirtmekte de fayda var. Bir de $dx$ yerine kısmi türev kullanmak gerekir. 

---

Kanıtınızı biraz açabilir misiniz? İlk eşit işaretinden sonra $div$ olmalı sanırım.

---

hemen bakacam

---

ben soru kısmında zaten hatırlattım müsaitseniz siz düzenleyebilirsiniz hem nerde eksik yaptıgımı anlamış olurum dersi ilk defa alıyorum sadece pekiştirmek amacı ve sitede divergents fonksiyonun eksikliğini görüdüğüm için koydum :)

---

3.sınıf mısınız? Difgeoda görüyorsunuz sanırım.Hangi kitabı takip ediyorsunuz? Müsait olunca düzenlerim inş.

---

Aynen öyle hocamın notları ve arif sabuncuoğlu diferansiyel geometri

---

Ortadaki sagin esiti herhalde? Solun esiti nedir?

f ve g kismi turevleniyor mu vs. soruda da bir suru eksiklik var.  

---

Sercan hocam tamam mı devam mı?

---

Lineer olduğu zaten tanımda (nedeni belirtilmemiş)  var. Bunun gösterilmesi isteniyor.

Ama çözümde sorun var.

Çözüme $f=\sum_{i=1}^n c_i\frac{\partial}{\partial x_i},\ g=\sum_{i=1}^n d_i\frac{\partial}{\partial x_i}$ diye başlanmalı. (Vektör alanları için, $f,g$ yerine, tanımdaki gibi $X,Y$ kulanmak da düşünülebilir)

Çözümde $f_i,\ g_i$ nin ne olduğu anlaşılmıyor. İkinci terimde de vektör alanlarının kısmi türevi alınmış, o terim anlamsız.

---

Düzenlemeye $div$  dönüşümünün varış kümesini  $C\left( E^{n}, \mathbb{R} \right)$ olarak düzelterek başlayabilirsin. $\nabla$  operatörünün ne olduğunu da tanımlamalısın. Vektör alanlarının türevlerini de bileşenlerine göre parçalı türev olarak düzeltmelisin.