turev. ve eğim.

Question

türevi bir fonksiyonda noktaya teget olan dogrunun egimi olarak tanimliyoruz ya ama ben o noktaya teğet olan yani noktayı kesen bir sürü dogru cizebilirim

Comments

"noktaya teğet" değil "o noktada eğriye (fonksiyonun grafiği) teğet" olan doğru.

---

teğetin tanimi nedir tam olarak 

---


alttaki de tanıma gore teget degil mi

bir noktada kesiyor

---

O zaman parabolün (ve pek çok eğrinin) her noktasında sonsuz çoklukta teğeti olur.

Tam bir tanımı zor ama başka bir temel (matematiksel olarak kesin sayılamayacak) özelliği var onu da bilmelisin.

---

hangi ozellik

---

Teğet tanımı (şekil olmadan) nedir?

---

işte bunu türev yardımı ile tanımlıyoruz öncelikle fonkisyonu alıyoruz noktamızı belirliyoruz ve o fonksiyonun o noktada tanımlı ve sürekli olduğuna bakıyoruz sonra bu noktadan geçen herhamgi bir doğru çiziyoruz bu doğru mutlaka fonksiyonu bir ba#ka bir noktada kesecektir* sonra o kestigi noktanin apsisi ile o bizim noktanin apsisinin arasindaki mesafeyi sıfıra gönderince (çizerek rahatça görürsün) bizim o doğru o noktadaki teğet olmaya doğru gider ve limit durumunda da teğettir deriz(limit için yakınsak dizinin tanımına bakmanız önerilir) 

Yani kısaca iki noktadan bi dogru geçer beliti ile o iki noktayi fonksiyon uzerinde ayni nokta yapmaya dogru limitini alirsak o noktadaki tegeti ve eğimi ile de türevi tanımlamış oluruz

*gerçi sadece o noktada tanimli olup kesmeyede bilir ama sonucta o noktada tanimliysa ve surekliyse apsisi noktanin apsisine limitle gonderilebilir

---

Seçtiğiniz noktada fonksiyonun sürekli olması yetmez; o noktada teğet tanımlayabilmeniz için türevi de olmalı. $f(x)=|x|$  fonksiyonunda $x=0$ noktasındaki teğeti düşünün. Ancak türevin sonsuz olduğu durumlarda da teğet olabilir (düşey teğet); Doğan Hocam yanıtında bundan bahsediyor.

---

Türevi tanımlamıştım zaten aslında ve eğimi o türeve eşit olan ve o noktayı elemanı kabul eden doğru o noktada teğettir diyoruz demeye çalımış idim

Dediğiniz gibi elbetteki türev yoksa teğet yoktur 

Ve teğet varsa mutlaka türev vardır. 

---

Aslında epsilonlu bir sonsuz küçük aralık alma yöntemi ile çok güzel bir tanımı yapılabilir

Answer 1

Teğeti (tüm eğriler için) sadece geometri ile tanımlamak mümkün değildir.

Analiz (türev) kullanmak zorundayız. 

Türev tanımın yazmaya gerek yok herhalde. 

($y=f(x)$ şeklindeki bir eğriye bir $(a,f(a))$ noktasındaki Lisans düzeyinde teğet tanımı:)

Öncelikle $f,\ a$ y ı içeren bir açık aralıkta tanımlı olmalı. (Bu biraz zayıflatılabilir ama limit alabilmek için buna benzer bir koşul koymak zorundayız)

1. Eğer $f,\ a$ da türevlenebiliyorsa, $(a,f(a))$ noktasından geçen, eğimi $f'(a)$ olan (yegane=biricik) doğruya $f$ nin $a$ daki (veya $y=f(x)$ eğrisinin $(a,f(a))$ noktasındaki) teğeti deriz.

2. Eğer $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=+\infty$ ya da $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\infty$ ve  $f,\ a$ da sürekli ise, $x=a$ düşey (dikey) doğrusuna $f$ nin $a$ daki (veya $y=f(x)$ eğrisinin $(a,f(a))$ noktasındaki) düşey (dikey) teğeti deriz. 

2. durum teğet doğrusunun bazı durumlarda düşey olmasına  da izin verir.

Not: 2. durumu eklemekte yarar var. Aksi halde (2. durum olmasaydı) örneğin, $y=\sqrt[3]{x}$ eğrisine $(0,0)$ da teğet yok demek zorunda kalırdık. Oysa ki, $y$ ekseni ($x=0$ düşey doğrusu) oradaki teğet olmalı. 2. durumda sürekli olma koşulunu eklemeliyiz. 1. durumda süreklilik koşulunu yazmaya gerek yok. Fonksiyon ister istemez sürekli olacaktır (bu bir teoremdir)

Comments

Bir fonksiyon grafiği şeklinde olmayan (bir denklem ile verilen veya parametrize edilmiş) eğriler için teğet tanımı da (analiz ile)  yapılabilir.

Answer 2

Her zaman geometrik bir tanım vermek mümkün olmasa da şöyle bir tanım yapılabilir: Sivri noktaları olmayan (aslında bu bile analiz gerektirir) bir eğri  $\alpha$  ve  $d$  bir doğru  ve  $k$  da eğri ve doğrunun kesim noktası olsun. Eğer $k$   nın bir  komşuluğunda  $\alpha$  eğrisi  $d$  nin tek bir tarafında kalıyorsa  o zaman $d$   doğrusu   $\alpha$  eğrisine   $k$   noktasında teğettir denir. Bir doğrunun iki tarafı olduğu aksiyom olarak kabül edilirse doğrunun bir tarafında olmak tanımlıdır. Eğer $\alpha$  eğrisi $t$  nin bir parametrizasyonu, $\alpha(t)=k$     ve   $\alpha'(t)$    hız vektörü sıfır değil  ve  $d$  doğrusu doğrultusunda ise o zaman $d$   doğrusu   $\alpha$  eğrisine  teğettir diyebiliriz.

Bir noktadaki teğet eğriyi kesebileceğinden, teğetin tanımı olarak yaygın olarak dillendirilen eğri ile yalnız bir ortak noktası olan doğru tanımının hatalı olduğu görülüyor.

Comments

Teğet tanımını böyle yaparsak, $y=x^3$ eğrisine $0$ da teğet bulamayız.

---

Evet hocam  Benzer şekilde $y=sinx$ eğrisine $x=0$ noktasında teğet bulamamamız gibi. Tanıma noktanın bir büküm (dönüm, inflection) noktası olmaması şartını koyalım. Fakat bu durumda konveksliğin yön değiştirdiği noktalardaki teğeti nasıl tanımlamamız gerekir? Bu noktalardaki teğet eğrinin ne altında ne de üstünde sanırım (pek hayal edemesem de). Bu arada her büküm noktasında teğet mevcut olmayabilir. İlgili tartışma

---

Bu geometrik tanıma göre (elips parabol hiperbol dışındaki)  pek çok eğriye, bazı noktalarında teğet olmaz.

Bunun yerine, hemen hemen herkesin kabul ettiği, (geometriyi unutup) kısaca:

türev varsa "eğimi türeve eşit olan doğru" olmak

ve buna, benim cevabımdaki 2. durumu da eklemek

daha iyi olur.

Böyle bir tanımda başka bir sorun da kompleks eğrilerde yaşanır, çünki:

 2 kompleks (4 gerçel) boyutlu uzayda, 1 kompleks (2 gerçel) boyutlu alt uzay ikiye ayırmaz, "bir tarafta kalmak" anlamsız olur.

---

Peki, mesela 3-boyutlu uzayda bir eğrinin teğetini tanımlarken ${T,N,B}$  dik çatısında oskülatör düzlem  ile  rektifyan düzlemin arakesiti olarak tanımlarsak sorun olur mu? 

---

$T$ tanımlandıktan sonra diğerlerine gerek yok. 

Hemen $T$ ye paralel olan (ve o noktadan  geçen) doğruya teğet deriz.

Bir şey daha: 

(3 veya daha fazla) uzaydaki bir eğriye teğet tanımlarken, bir tarafta kalmak anlamsız. O nedenle düzlem eğrilerinde de öyle bir koşul olmamalı.