Hocam $\displaystyle\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}.k.9^{n-k}$ sonucunu şöyle buldum:
$1$'den $10^n$'ye kadar olan sayıların tamamını genel olarak $a_1a_2\cdots a_n$ şeklinde ifade edelim.
Bu sayıları $1$ tane $a$ içerenler $2$ tane $a$ içerenler vs. diye ayıralım.
$k\le n$ için genel olarak içerisinde $k$ tane $a$ rakamını içerenleri şöyle ifade edebiliriz:
$n$ sayıdan $k$ tanesini $\binom{n}{k}$ farklı şekilde seçeriz.
$k$ tane $a$ rakamı seçildiğinden bulunan sonucu $k$ ile çarparız.
alınan $k$ tane $a$ rakamı harici kalan her $n-k$ sayı için 9 tane seçenek vardır.(Sercan hocamın yorumunda bahsettiği nedenden dolayı $0$'larda seçenek olabilir.)
Sonuç olarak içinde $k$ tane $a$ rakamı içeren sayıların sayısı:
$\dbinom{n}{k}.k.9^{n-k}$ olur.
$k$'ya birden $n$'ye kadar tüm sayıları koyup toplarsak
$\displaystyle\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}.k.9^{n-k}$ olur.