Grup teoride bir grup oluşturmak için, bir küme üzerine tanımlanan ikili işlemin birleşme özeliğini sağlaması gerekiyor. Anlamadığım tarafı bu birleşme özelliği bize ne sağlıyor? Çarpım sırası mı belirliyor?

Question

md de bu özelliğin olmazsa olmazlığından bahsediliyor ama ben o olmazsa olmazlığı kavrayamadım.

Comments

Olmazsa olmaz degil. Olunca adina grup deniliyor. 

Carpimi birlesme ozelligini saglamayan cisimimsi yapilar kodlama teorisinde de kullaniliyor hatta. Ozellik olmadiginda ne yapacagin da onemli. Olunca cok daha kolay oluyor, guzel savlar cikarimlar cikiyor. Olmayinca isler karisiyor elbet.

---

Birleşme özelliğinin var olması, bize işlemlerin hangi sırayla yapıldığının önemli olmadığını söyler. Bir işlem birleşme özelliğine sahip değilse bu durumda işlemlerin hangi sırada yapıldığı önem arz eder. Mesela $$1-(2-3)\neq (1-2)-3$$ olduğundan burada işlemlerin hangi sırada yapıldığı önemlidir.

---

Aynı şeyi başka kelimelerle ben söyliyim bir de: Birleşme özelliği parantez kullanmaya gerek olmadığını söylüyor. $a + (b+c)$ ile $(a+b)+c$ aynı şey ise parantezleri kaldırıp $a + b + c$ yazabilirim.

---

Birleşme özelliği olmayan bir işlem örneği de ben vereyim:

\[ [a,b]=ab-ba \]

Burada $a$ ve $b$ bir cebirden elemanlar.

---

Başka bir örnek: taş, kağıt, makas. Bunlar arasındaki ikili işlemi "oyunu kazanan" olarak tanımla. Mesela kağıt*makas = makas. Bu durumda (taş * kağıt) * makas ile taş * (kağıt * makas) aynı şeyler değil.

---

Nesin matematik youtube videolarında belki videoyu bulabilirim, dersi anlatan hoca (Ali hoca değil) bu kısım için şöyle dediğini hatırlıyorum.

Alışkanlıktan,  toplama yaparken parantezin önemi yok diyoruz. Oysa o kadar kolay (trivial) değil.

Kendisi tahtaya çok basit bir örnek yazmıştı. Örneğin, $1+(2+3)=(1+2)+3$ gibi. Daha sonra, soldakinden başlayarak parantezin içini topladı $3$ dedi sonra $1$ ekleyip $4$ dedi. Aynı işlemleri sağ taraftaki için yaptıktan sonra tamam bu doğruymuş. Ya daha büyük sayılar olsaydı bu kadar rahat söyleyebilir miydik? Devamında bir şeyler daha söylemişti ama hatırlayamadım. Videoyu bulmam lazım

Hoca bence haklıydı hatta dörtlü toplama için ispatın çok uzun sürdüğünü de söylemişti.