$\mathbb{C}$: karmaşık sayılar cismini, $\mathbb{R}$: gerçel sayılar cismini göstersin.
$\sigma:\mathbb{C}\to \mathbb{C},\ \sigma(a+bi)=\overline{a+bi}=a-bi\quad(a,b\in\mathbb{R})$ bir otomorfizmadır (Çarpma ve toplamayı korur ve ayrıca 1-1 ve örtendir) Ayrıca $\sigma(z)=z\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}$
$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ gerçel katsayılı bir polinom, $z,\ p(x)$ in bir kökü olsun.
$a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0=0$ olur. $\sigma(a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0)=\sigma(0)=0$ olur. $\sigma$ toplama ve çarpmayı koruduğu (ve $\sigma(a_i)=a_i$ olduğu) için,
$a_n\sigma(z)^n+a_{n-1}\sigma(z)^{n-1}+\cdots+a_0=0$ olacağı için, $\sigma(z)$ de $p(x)$ polinomunun bir kökü olur. $z$ gerçel değil ise $\sigma(z)\neq z$ olacağı için $p(x)$ in başka bir kökünü bulmuş oluruz. Eğer ayrıca $p(x)$ ikinci derece ise, diğer kökünü bulmuş oluruz.
Buna benzer şekilde şunu da kolayca görürüz:
$p(x)$ rasyonel ($\mathbb{Q}$) katsayılı, ikinci derece bir polinom ve $ \Delta$ ($p(x)$ in diskriminantı) rasyonel bir sayının karesi olmasın (negatif de olabilir) (O zaman $p(x)$ in rasyonel kökü olmayacaktır).
Bu durumda $F=\{a+b\sqrt{\Delta}:a,b\in\mathbb{Q}\}\subset\mathbb{C}$ bir cisimdir ve $\sigma(a+b\sqrt{\Delta})=a-b\sqrt{\Delta},\ F$ cisminin bir otomorfizmasıdır ve $\sigma(z)=z\Leftrightarrow z\in\mathbb{Q}$ doğrudur. Yukarıdaki gibi, $z,\ p(x)$ in bir kökü ise $\sigma(z)$ de bir kökü olur. Özel olarak $z\notin\mathbb{Q}$ ise $\sigma(z)$ de $p(x)$ in diğer kökü olacaktır.
(Aslında, burada $\Delta$ sayısının polinomun diskriminantı olması ya da $p(x)$ in ikinci derece olması da gerekmez, yalnızca $p(x)$ in bir $F\setminus \mathbb{Q}$ da bir kökü ($z$ diyelim) olması yeterlidir. $\sigma(z),\ p(x)$ in başka bir kökü olacaktır.