Geometrik seriler

Question

$S=1+r+r^2+r^3\cdots$ olsun. O zaman

$S=1+r (1+r+r^2+r^3\cdots)=1+rS$

$S (1-r)=1\Rightarrow S=\dfrac {1}{1-r} $ olur. Başka bir yolla da şöyle bulabiliriz:

$S=1+r+r^2+r^3\cdots=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac {r^n-1}{r-1}$ Sonuç olarak

$S=\dfrac {1}{1-r}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac {r^n-1}{r-1}$ Buradan da

$-1=\lim\limits_{n\to\infty}r^n-1\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}r^n=0$ bulunur. Ama bu bulunan bana çok mantıklı gelmedi bir yerde hata mı var yoksa gerçekten de 

$\lim\limits_{n\to\infty}r^n=0$'mı?

Comments

Bu mantık yürütmede başta gizli bir varsayım var aslında.

$S$ nin bir sayı olduğunu kabul edersek bu  işlemler geçerli.

$S$ nin sayı olması, yani serinin yakınsak olması sadece $|r|<1$ iken (eşdeğer olarak 

$\lim\limits_{n\to\infty}r^n=0$ iken) doğru oluyor.

Kısaca:

$S\in\mathbb{R}\Leftrightarrow |r|<1\Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}r^n=0$

---

Bir de şu teorem var (Genel Terim Testi):

$\sum_{n=1}^\infty a_n\textrm{ yakınsaktır }\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$

(Ama bunun karşıtı doğru değil. Geometrik serilerde karşıtı da doğru oluyor.)

---

Hocam peki $S$'nin sayı olması için $r$'nin $-1$ ile $+1$ arasında olması gerektiğini nerden biliyoruz?

$(1+x+x^2+\cdots)(1-x)=1$ her $x$ reel sayısı için doğru olmaz mı? $x$'e hangi sayıyı koyarsak koyalım sadeleşecekler ve hep $1$ kalacak.

---

$\dfrac{1}{1-r}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{r^n-1}{r-1}$ ise

içler dışlar çarpımı yaparak

$-1=\lim_{n \to \infty} \left( 1-r^n \right)$ yazamazsınız!

---

@emresafa,

$(1+x+x^2+\cdots)(1-x)=1$ nin (en azından)  $x=1$ iken doğru olmadığı apaçık değil mi?

Ayrıca:

 $r\geq1$ iken de $S=1+r+\cdots$ nasıl bir sayı ki her doğal sayıdan daha büyük oluyor ?

(http://matkafasi.com/117321/arsimet-ozelligini-kanitlayiniz?show=117321#q117321 sorusuna bakabilirsin)