Question

$$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[0,\frac1n\right]=\{0\}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(0<\frac1n\right)\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})\left(\{0\}\subseteq \left[0,\frac1n\right]\right)\overset{?}{\Rightarrow} \{0\}\subseteq \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[0,\frac1n\right]\ldots (1)$$

Öte yandan

$$x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[0,\frac1n\right]\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})\left(0\leq x\leq \frac1n\right)\overset{?}{\Rightarrow}{x=0}\Rightarrow x\in\{0\}$$ yani $$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[0,\frac1n\right]\subseteq \{0\}\ldots (2)$$ olur.

$$(1),(2)\Rightarrow \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[0,\frac1n\right]=\{0\}$$ elde edilir.

Answer 2

Daha genel olarak $I_n=[a_n, b_n] $ aralıklar cümlesi bir iç içe aralıklar sistemi oluşturuyorsa $I_n$ aralıklarının hepsine ait olan tek bir sayı vardır. $I_n=[0, 1/n]$ aralıklarının iç içe aralıklar sistemi oluşturduğu söylenebilir çünkü $n$ indisi küçüldükçe aralıklar bir birini kapsamakta ve aralık boyları küçülerek $0$ sayısına yaklaşmakta. Yukarıdakine benzer şekilde arakesitin $0$ olduğu gösterilebilir.