Kolaylık olması için önce $x^2+Bx+C=0$ denkleminin köklerini bulalım.
Daha sonra $ax^2+bx+c=0$ denkleminin köklerini bulmak zor olmayacaktır.
$x^2+Bx+C=0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun.
$x_1=u+v,\ x_2=u-v$ olacak şekilde (tek) bir $(u,v)$ ikilisi vardır. Onları bulacağız.
$(u+v)^2+B(u+v)+C=0$ ve $(u-v)^2+B(u-v)+C=0$ olur.
Bunları açarsak:
$(u^2+v^2)+B(u+v)+2uv+C=0$ ve $(u^2+v^2)+B(u-v)-2uv+C=0$ elde ederiz. Taraf tarafa çıkarırsak:
$2Bv+4uv=0$ buluruz. Buradan
1) $v=0$ veya
2) $u=-\frac B2$
olmalıdır.
Önce $v=0$ durumunu inceleyelim.
Bu durumda $x_1=x_2$ olacaktır, yani tek bir gerçel kök olacaktır.
Bu da her $z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ için, $x_1+z=u+z$ nin denklemin kökü olmaması, yani:
$z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ için $(u+z)^2+B(u+z)+C\neq0$ olması demektir. Bunu açınca:
$z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ için $(u^2+Bu+C)+z(z+B+2u)\neq0$ olur. $u^2+Bu+C=0$ olduğu için:
$z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ için $z(z+B+2u)\neq0$ olmalıdır.
Ama $z=-B-2u$ için bu çarpım 0 dır. Öyleyse $-B-2u=0$ yani yine $u=-\frac B2$ elde edilir.
Öyleyse, mutlaka $u=-\frac B2$ olmalıdır.
Bunu (denklemlerden birinde) yerine yazınca:
$$\frac{B^2}4+v^2-\frac{B^2}2+Bv-Bv+C=0$$ dan $v^2=\frac{B^2-4C}4$, dolayısıyla $v=\pm\frac{\sqrt{B^2-4C}}2$ elde edilir.
Bu da $\{x_1,x_2\}=\left\lbrace-\frac B2+\frac{\sqrt{B^2-4C}}2,-\frac B2-\frac{\sqrt{B^2-4C}}2\right\rbrace$ olması demektir.
Ek: Tüm bu işlemler, yalnızca $\mathbb{R}$ için değil, karakteristiği 2 olmayan tüm cisimlerde geçerlidir.