L'Hospital kuralını uygulamak , pay ve paydanın integral durumunda

Question

Aşağıdaki fonksiyonların  türevlenebilir olduğunu kabul edelim.

$\int_0^u F(t,a)dt$ $\,\,\,$  and$\,\,\,\,\,$  $\int_0^u G(t,a)dt$ 

Ve L'Hospital kuralı için aşağıdaki  şartların var olduğu kabul edelim. 

$\lim_{u\to \infty}\int_0^u F(t,a_0)dt=0$ $\,\,\,$  and$\,\,\,\,\,$  $\lim_{u\to \infty}\int_0^u G(t,a_0)dt=0$ 

Yine genel olarak aşağıdaki denkleme L'Hospital kuralını uygulayacak şartların var olduğunu farz edelim.

 $$\lim_{u \to \infty} \frac{ \int_0^u F(t,a_0) \, dt}{\int_0^u G(t,a_0) \, dt} $$ 

SORU:

1-) L'Hospital kuralını uygulamadan önce,  paydanın sonsuz haricindeki tüm  $u$  değerlerinde de sıfır olmaması gerektiğini ispat etmemiz gerekiyor mu ?  

Örneğin, paydanın $u=10$ için sıfır olmaması gerektiğini ispat etmemiz gerekiyor mu ?

$\int_0^{10} G(t,a_0)dt$ 

2-) Yoksa sadece sonsuz komşuluğundaki değerlerinde mi  ( yani  "($c$, +∞) aralığında  öyle ki $c$  ∈ℝ.)   sıfır olmaması gerektiğini mi göstermemiz gerekiyor?   Yani $u$ nun çok büyük değerlerde  (mesale  $u=10^{100}$  veya  $u^{1000}$  etc...gibi )  yani sonsuza yakın yerlerde  sıfır olmaması gerektiğini mi ispat etmemiz gerekiyor?.

 

$\int_0^{10^{1000}} G(t,a_0)dt$ 

 

3-) Veya bu soruda paydanın, sonsuz hariç  $0$ olup olmamasının hiç bir önemi yok mu,  L'Hospital kuralını uygulamak için ?

Not:   $a_0$    burada  $u$  ve  $t$ 'den  bağımsızdır.  Ve soru ile direkt olarak bir ilgisi yoktur.

Comments

$a, a_0$ nedir? İntegral sanırım $u$'ya göre türevlenebiliyor; zira aynı ifâdenin $a$'ya göre parametrik türevi tartışılabilir.

---

Haklısın.  Burada türevden bahsederken  $u$ göre türevden bahsetmiştim. Teşekkürler.  Burada türev açısından $a$ bir önemi yok.

Answer 1

Merhabalar fonksiyonun $+\infty$ de limitinin olması için bir $(c,\infty)$ aralığında tanımlı olması lazım.  Bu yüzden (2) doğru. 

Comments

Cenk Hocam, merhaba . Orada tanımlı . Buradaki sorum farklı. Bir aralıkta  "0"  olduğuna bakmamız mı gerekiyor, Le' Lospital Kuralını uygulmak için ?    Zaten payda   ($c$, $\infty$)  bölgesinde tanımlı. Tanımlı olmasında bir sorun yok.  Ve sonsuzda $0$ değerini alıyor.

Bir Hocam diyor ki,  hayır böyle bir kurala gerek yok.   Yani bu yüzden (3) doğru diyor. 

cc, +∞) 

---

Ben doğru ifade edemedim demek istediğimi. Limitini aldığınız $$\frac{\int F}{\int G}$$ fonksiyonunun bir $(c,\infty)$ aralığında tanımlı olması lazım ki sonsuzda türevi olsun. O fonksiyonun tanımlı olması için de bölenin o Aralıkta sıfır olmaması lazım.

---

Cenk Bey , ben sizi anlıyorum.  Fakat konuyu netleştirmeye çalışıyorum.  Farz edelim ki aşağıdaki $u$ değerinde $0$ elde edebileceğimizi farz edelim  (yani sonsuza yakın yerlerden birinde,  yani  "($c$, +∞) aralığın içinde bir yerde.)

$$\int_0^{10^{10000}} G(t,a_0)dt=0$$ 

Bu durumda aşağıdaki limite   L'Hospital kuralını uygulaya mayacağız. Doğru mu ?

 $$\lim_{u \to \infty} \frac{ \int_0^u F(t,a_0) \, dt}{\int_0^u G(t,a_0) \, dt} $$ 

---

Tekrar merhabalar. Benim verdiğim cevapta hata var. Örneğin, $F,G$ fonksiyonlarını sırasıyla $(u\sin^2 u)’$ ve $(u^2\sin u)’$ olarak seçersek, Bu fonksiyonlArın hiç bir $(c,\infty)$ aralığında sıfırdan farklı olmadıkları gözüküyor. (İsterseniz, L’hopital kuralını kullanarak) bu limiti alınca da 0 çıkıyor. Soruda (2) ile verilen özelliği sağlaması halinde verilen limitde l’hopital kuralı kullanılabilir. ama (2) den daha zayıf bir koşul da söylenebilir.