Pisagor Teoreminin Karşıtı

Question

$a,b,c$   sayıları  $ABC$  üçgeninin kenar uzunlukları olsun. $$a^2=b^2+c^2$$  ise $A$ açısının $90^\circ$ derece olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Eşlik teoremiyle bir kanıtını biliyorum. Onu paylaşayım.

Bir $ABC$ üçgeninde  $a^2=b^2+c^2$  eşitliği sağlansın. Şimdi $m(E)=90^\circ$ derece olan ve $|EF|=c,   |EG|=b, $  bir $EFG$  üçgeni alalım ve bu üçgende Pisagor teoreminin diğer yanını çalıştıralım; o zaman $$|FG|^2=|EF|^2+|EG|^2=|AB|^2+|AC|^2=b^2+c^2=a^2=|BC|^2$$   $$|FG|=|BC|$$  olur.

Dolayısıyla $KKK$ eşlik teoremine göre $ABC$  üçgeni  $EFG$  üçgenine eş olduğundan $$m(E)=m(A)=90^\circ$$  derece olmalıdır.

Answer 2

ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım

$$a^2=b^2+c^2-2bccosA$$

$$a^2=b^2+c^2$$ olduğu kullanılırsa

$$2bccosA=0$$ olur. $b.c\neq 0$ olduğundan $$cosA=0\Rightarrow m(A)=90$$ olur.

Comments

Teşekkürler Hocam. Kosinüs teoreminin ispatında da Pisagor teoreminin bir yanını kullanıyoruz. Bildiğiniz daha temel bir ispat var mı?

Answer 3

Belki şöyle de düşünülebilir.

ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarı çapı $R$ olmak üzere sinüs teoreminden;

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}= \frac{c}{sinC}=2R$$ den 

$$a=2RsinA\rightarrow a^2=4R^2sin^2A$$

$$b=2RsinB\rightarrow b^2=4R^2sin^2B$$

$$c=2RsinC\rightarrow c^2=4R^2sin^2C$$ olacaktır. Madem ki $a^2=b^2+c^2$ dir. O halde 

$$4R^2sin^2A=4R^2(sin^2B+sin^2C)\rightarrow sin^2A=sin^2B+sin^2C$$ elde edilir.Buradan 

$$sin^2A-sin^2B=sin^2C$$

$$(sinA-sinB)(sinA+sinB)=sin^2C$$

$$2sin(\frac{A+B}{2}).cos(\frac{A-B}{2})   2sin(\frac{A-B}{2}).cos(\frac{A+B}{2})=sin^2C$$

Buradan $sinx=2sin(x/2).cos(x/2)$  özdeşliğinden yararlanılarak,

$$sin(A+B).sin(A-B)=sin^2C$$ elde edilir.  Öte yandan  $A+B+C=\pi\Rightarrow A+B=\pi-C$ ve $sin(A+B)=sin(\pi-C)=sinC$ dir. 

Böylece son eşitlikten

$sin(A-B)=sinC\Rightarrow  A-B=C\Rightarrow A=B+C$ elde edilir.  

$A=B+C=\pi-A\rightarrow 2A=\pi\rightarrow A=90$ olur. Bu da istenendir.

Belki geometrik ispatları da vardır. Bir yazıda Pisagor teoreminin  300 den fazla farklı yoldan ispatının olduğunu okumuştum. Sanıyorum buna yakın karşıtının da ispatı vardır. Başka ispatları da bekleyeceğiz artık.