$\sum^{\infty}_{n=0} {a_n} z^n$ serisinin yakınsaklık yarıçapı ${R}$ ve $\sum^{\infty}_{n=0} Re({a_n}) z^n$ serisinin yakınsaklık yarıçapı ${R_1}$ ise ${R_1}\geq {R}$ olduğunu gösteriniz?
Ilk serinin yakınsadığı yerlerde, ikinci seri de yakınsar. Soru (az çok) buna denk, değil mi? Bir dizi yakınsaksa, diğerinin de yakınsayacağını söyleyen bir test biliyor musun?
Terimlerin mutlak değerlerini karşılaştırabiliyor musun?
Mesela hocam şöyle düşündügüm zaman diyelim burada ki ${a_n}=i^n/n$ olsun sordugum soruma göre ve Bir önceki yorumda belirttiğim teste göre $R_1$ ve $R$ 1 e eşit olur daha farklı ${a_n}$ lerde bulabiliriz kıyaslama yapabiliriz ama bunu keyfi olarak aldigim da matematiksel olarak ispatlayamıyorum
Doğan hocam sizin dediğinizi yanlış anlamadıysam komplesteki her z elaman için $|Re(z)|$ ${\leq}|z|$ eşitliği olduğundan $|Re({a_n}) z^n|$ ${\leq}$ $|{a_n} z^n|$ olduğunu düşünerek mi terimleri karşılaştırabilir miyiz dediniz?
Evet. Bu eşitsizliğe bir şey daha eklersen olacak
Hocam ben aslında şöyle yaptım bir üstteki yorumda mutlak değer içinde z^n olmazsa ve lim n ssonsuza giderken $|{a_n}/{a_n-1}|$=$1/R$ olduğundan sonra buradan işte bir üstteki ifadenin iki tarafın limitini aldığımız da ${R}{\leq }R_1$ olduğu görülür
O şekilde olmaz. Çünki o limit var olmayabilir. Olsa bile istediğin sonuca nasıl ulaştın?.
Bir kesrin hem payı hem de paydası azalınca kesrin değerine ne olacağını kestiremeyiz.
Karşılaştırma testi kullanmayı dene.
Evet hocam cok halkısınız limitin varlığını garanti edemem ki karşılaştırma testi tam olarak burada ne işime yarayacak o hocam orayı tam olarak anlayamadım
Karşılaştırma testi için bir eşitsizlik gerekiyor. Bir de serilerden (uygun!) birinin serinin yakınsaklığı gerekiyor Onlar da var.
Karsilastirma testini biliyorum Hocam ama şimdi yakınsaklık yarıçapından bahsettiği için seriler zaten yakınsak olmuyor mu ben yanlış mı biliyorum?
Siz şöyle düşünerek söylüyorsunuz doğan hocam herhalde $|{a_n} z^n|$ yakınsak olduğundan $|Re({a_n}) z^n|$ de yakınsak olur karşılaştırma testi gereğince inşallah yanlış ifade etmiyorumdur hocam
Evet.
Yalnız $|{a_n} z^n|$ yerine $\sum |{a_n} z^n|$ ve
$|Re({a_n}) z^n|$ yerine $\sum|Re({a_n}) z^n|$ yazmalısın.
Buradan $R{\leq}$ ${R_1}$ olduğunu nasıl göreceğim hocam Orayı tam olarak anlayamadım
İnşallah saçmalamıyorumdur Hocam karşılaştırma testi ile yakinsak olduğunu görürüz ve buraran da ondan sonra |z| < ${R_1}$ oldugunu söyleriz bunlar arasindaki ilişkiye nasıl karar vereceğiz?
Kuvvet serilerinin (reel veya kompleks katsayılı/değişkenli fark etmiyor) yakınsak olduğu küme ilgili bir teorem vardır.
Onu hatırlıyor musun?
Hatırlamıyorum hocam