$n\in\mathbb{N}$ asal ve $A:=\{x\in\mathbb{R}|0\leq x, \ x^2<n\}$ olsun.
$1\overset{\text{Neden?}}{=}1^2\overset{\text{Neden?}}{<}n\Rightarrow 1\in A\Rightarrow A\neq \emptyset\ldots (1)$
Şimdi de $$x\in A\Rightarrow x<n$$ olduğunu yani $A$ kümesinin her elemanının $n$ sayısından küçük olduğunu görelim. $x\in A$ olsun. $x\not< n$ yani $n\leq x$ olduğunu varsayarsak
$$\left.\begin{array}{rr} n\leq x\Rightarrow n^2\leq nx\\ \\ n\leq x\Rightarrow nx\leq x^2\end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{rr} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} n^2\leq nx\leq x^2 \\ \\ x\in A\Rightarrow x^2<n\end{array} \right\} \Rightarrow n^2\leq nx\leq x^2 <n\end{array}$$ çelişkisini elde ederiz. O halde $$x\in A\Rightarrow x<n$$ yani $$n\in A^{\text{ü}}$$ yani $$A^{\text{ü}}\neq\emptyset$$ yani
$$A, \text{ kümesi üstten sınırlı}\ldots (2)$$ olur.
$\left.\begin{array}{rr} (1),(2)\overset{\text{SUP}}{\Rightarrow}(\exists a\in\mathbb{R})(a=\sup A) \\ \\ 1\in A\end{array}\right\}\Rightarrow 0<1\leq a\Rightarrow a\in \mathbb{R}^{> 0}$
Bir de $$a^2=n$$ olduğunu kanıtlarsak işimiz biter. Bunun için de $$\textbf{I. Durum}: a^2\leq n$$ ve $$\textbf{II. Durum}:n\leq a^2$$ olduğunu göstermeliyiz. (Neden?).
$\textbf{I. Durum}:$ $a^2\leq n$ olmasın yani $n<a^2$ olduğunu varsayalım.
$\left.\begin{array}{rr} n<a^2\Rightarrow 0<a^2-n \\ \\ a\in \mathbb{R}^{> 0} \end{array}\right\}\Rightarrow 0<\frac{a^2-n}{2a}\overset{\text{Arşimet Özelliği}}{\Rightarrow} (\exists m\in \mathbb{N})\left(\frac1m<\frac{a^2-n}{2a}\right) $
$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow\frac{2a}{m}<a^2-n \Rightarrow n <a^2-\frac{2a}{m}<a^2-\frac{2a}{m}+\frac1{m^2}=\left(a-\frac1m\right)^2 \\ \\ b\in A\Rightarrow b^2<n\end{array}\right\}\Rightarrow$
$\Rightarrow b^2<n<\left(a-\frac1m\right)^2\overset{\text{Neden?}}{\Rightarrow} b<a-\frac1m$
yani $$b\in A\Rightarrow b<a-\frac1m$$ olur. Bu ise bize $a-\frac1m$ sayısının $A$ kümesinin bir üst sınırı olduğunu söyler ki bu da $$a=\sup A$$ olması ile çelişir. Demek ki $$a^2\leq n\ldots (3)$$ olmalıdır.
$\textbf{II. Durum}:$ $n\leq a^2$ olmasın yani $a^2<n$ olduğunu varsayalım.
$\left.\begin{array}{rr} a^2<n\Rightarrow 0<n-a^2 \\ \\ a\in \mathbb{R}^{> 0} \end{array}\right\}\Rightarrow 0<\frac{n-a^2}{2a+1}\overset{\text{Arşimet Özelliği}}{\Rightarrow} (\exists m\in \mathbb{N})\left(\frac1m<\frac{n-a^2}{2a+1}\right) $
$\Rightarrow\frac{2a+1}{m}<n-a^2\Rightarrow \left(a+\frac{1}{m}\right)^2=a^2+\frac{2a}{m}+\frac{1}{m^2}\leq a^2+\frac{2a}{m}+\frac{1}{m}<n$
$\Rightarrow a+\frac{1}{m}\in A$
elde edilir ki bu da $a$'nın $A$ kümesinin en küçük üst sınırı olması ile çelişir. Demek ki $$n\leq a^2\ldots (4)$$ olmalıdır.
O halde
$$(3),(4)\overset{\text{Neden?}}{\Rightarrow} a^2=n$$ elde edilir.