Polinomun derecesi üzerine tümevarım ile:
("$P(k):$ derecesi $\leq k$ olan tüm (sabit olmayan) polinomları bölen bir indirgenemez polinom vardır" önermesinini her $k\geq1$ için doğru olduğunu göstereceğiz.
-
$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ derecesi 1 olan bir polinom olsun. Bir polinomun derecesi doğal sayı olduğundan $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=g(x_1,x_2,\ldots,x_n)h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde $g(x),h(x)\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ ve $g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ve $h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dereceleri<1 olacak şekilde iki polinom var olamaz. Öyleyse $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenemez polinomdur ve $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dir. $P(1)$ doğrudur.
-
Bir $k\geq1$ doğal sayısı için, $P(k)$ doğru olsun.
$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ derecesi $k+1$ olan bir polinom olsun.
-
$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenemez ise, $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olduğu için $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i bölen bir indirgenemez polinom vardır.
-
$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenebilir ise, $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=g(x_1,x_2,\ldots,x_n)h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde dereceleri $1\leq\deg g\leq k$ ve $1\leq\deg h\leq k$ olacak şekilde polinomlar vardır. Kabulümüzden, $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde en az bir indirgenemez $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ polinomu vardır. $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olduğu açıktır.
Tümevarım ilkesinden, iddiamızın doğruluğu gösterilmiştir.