$\mathbf{T_1)}$ $\emptyset\in \tau$ olduğu verilmiş.
$\mathbb{R}^c=\emptyset$ ve $\emptyset, \ \mathcal{U}$-kompakt olduğundan $\mathbb{R}\in \tau.$
$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun.
$A,B\in\tau\Rightarrow [(A=\emptyset\vee B=\emptyset)\vee (A\neq\emptyset)(B\neq\emptyset)]$
$\textbf{I. durum:}$ $A=\emptyset\vee B=\emptyset$ olsun.
$(A=\emptyset\vee B=\emptyset)\Rightarrow A\cap B=\emptyset\in\tau.$
$\textbf{II. durum:}$ $A\neq\emptyset$ ve $B\neq\emptyset$ olsun.
$\left.\begin{array}{rr}\emptyset\neq A\in \tau\Rightarrow A^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt} \\ \\ \emptyset\neq B\in \tau\Rightarrow B^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt}\end{array}\right\}\overset{?}\Rightarrow (A\cap B)^c=A^c\cup B^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt} \Rightarrow A\cap B\in\tau.$
Not: Soru işaretinin gerekçesine buradaki linkten ulaşabilirsiniz.
$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. $(\emptyset\notin\mathcal{A}$ olduğunu varsayabiliriz. Neden?)
$$\begin{array}{rcl} A\in\mathcal{A}\subseteq \tau & \Rightarrow & A^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt} \\ \\ & \Rightarrow & A^c, \ \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı} \\ \\ & \Rightarrow & \bigcap_{A\in\mathcal{A}}A^c, \ \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı} \\ \\ & \Rightarrow & \setminus\left(\bigcup \mathcal{A}\right)=\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt} \\ \\ & \Rightarrow & \bigcup \mathcal{A}\in\tau. \end{array}$$