İndirgenemez polinom mudur?

Question

n bir bileşik tamsayı olsun.$f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1$ polinomunun $\mathbb{Q}[x]$ içinde indirgenemez olup olmadığını araştırınız.           $f(x)$ polinomunun rasyonel bir sıfırı olsaydı -1,1 olurdu Dedim ve buradan n çift sayıları için $f(x)$  polinomunda -1 in  sıfırı olduğu gördüm n tek sayılırda polinomun sıfırı olmadığını da gördüm buradan $f(x)$ polinomu n çift için derecesin kendinden daha küçük polinomlarin çarpımı olarak yazıldığından indirgenemez olmadığını görülür lakin n tek sayılırı için nasıl inceleyip göreceğim ya da gidiş şeklim yanlış mı?

Comments

Hocam benim bildiğim kadarıyla Eisenstein indirgenemezlik kıstası p bir asal sayı ve f(x) Z üzerinde n.dereceden Bir polinom olsun. Eğer p asalı f(x) in n-1 derecesine kadar Olan tüm katsayıları böler fakat n.dereceden olan katsayıyı bölmez ve sabit teriminin de karesini bölmez ise o zaman f(x) polinomu Q üzerinde indirgenemez bir polinomdur

Answer 1

Cyclotomic Polynomials konusuna bakabilirsin. Burada da siklotomik polinom olarak ben birkac baslik acmistim, omlara da bakabilirsin. 

$n$'nin asal olup olmamasi durumunu inceleyebilirsin. $$(x-1)f(x)=x^n-1$$ olarak yazilabiliyor. $n$ asal degilse  $n=ab$ olarak yazdigimizda $$(x^a)^b-1=(x^a-1)(x^{a(b-1)}+\cdots+x^a+1)$$ olarak carpanlarina ayrilir. 

Tabii ust yontem $n$ asal ise calismaz. Bu durum icinse $f(x+1)$ polinomu icin Eisenstein indirgenememezlik kistasini (Eisenstein's irreducibility criterion) uygulayabilirsin. $f(x+1)$ indirgenemezse $f(x)$ de indirgenemez degil mi?

Comments

Hocam f(x+1) polinomu için nasıl Eisenstein kıstası uygunabilir orayı tam olarak anlayamadım

---

Dediğim kıstası araştırdın mı? Yani kıstası bilip mi takıldın bilmeden mi? 

---

Hocam üste sorunun yorumuna yazdım yanlışlıkla kıstası

---

$(x+1)^p-1$ polinomunun başkatsayısı hariç tüm terimleri $p$ aslına bölünür, değil mi? 

---

Aynen hocam bölünür.

---

Sonucu elde edebildin mi burdan? 

---

Ben tam olarak olayı kavrayamadım herhalde hocam elde edemedim yani

---

Hocam biz burada x.f(x+1) için Eisenstein indirgenemezlik kıstası uygulamış olmuyormuyuz Çünkü (x-1).f(x)=x^n-1 olduğundan n asalsa x.f(x+1)=(x+1)^p -1 olur 

---

Anladım hocam şimdi 

---

Sercan hocam çok güzel çözüm. Biz de öğrenmiş olduk, teşekkürler.