Kompleks analiz ile ilgili bir soru

Question

$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ fonksiyonu analitik bir fonksiyon ve $f(z)=U(z)+iV(z)$ olsun.Her $z\in\mathbb{C}$ için$U(z)\leq0$ ise $f$ sabittir.  Bununla ilgili şöyle düşündüm eğer ki f'(z)= 0 ise f nin sabit olduğunu görebilirim buradan Cauchy-Riemann eşitliklerinden f'(z) yi yazdım ama sonuca ulaşamadım buradan gidişim doğru mu yani buradan bulabilir miyim?

Comments

Aslında evet, CR denklemlerini biraz zorlayıp kanıtlayabilirsin. Ama benim şöyle 2 sorum var:

1) Liouville teoremini biliyor musun?

2) Üst yarı düzlemi birim diske götürecek bir möbius dönüşümü yazabilir misin?

---

 1. Sorunuz için Evet hocam  Liouville teorimini biliyorum analitik ve sınırlı ise f sabittir benim sorumda zaten analitiklik verilmiş siz bu 2.sorunuz ile  sınırlı olduğunu yakalamaya çalışmamı istiyorsunuz herhalde ama 2.sorunuz ise için Hocam nasıl belirleyebilirim Bir fikrim yok

---

Aynen öyle! Eğer 2. sorudaki gibi bir $g$ fonksiyonu bulabilirsen, $g\circ f$ fonksiyonu sınırlı ve analitik bir fonksiyon olur. Dolayısıyla sabit fonksiyon olur. Oradan da $f$'nin sabit olduğunu çıkarabilirsin.

$g$'yi nasıl bulacağını da Möbius transformasyonlarını anlatan bir kaynaktan bulabilirsin.

---

Bu sorunun amacı genelde yukarıda yazdığım şeyleri test etmek. Onun dışında kompleks analizde çok daha güçlü teoremler var bu soruyu cevaplayabilecek. Picard teoremi mesela. Çok saçma güçlü bir teorem. Cauchy-Riemann denklemleri çok önemli o yüzden.

---

Picard teoremini bilmiyorum hocam 

---

Mobius dönüşümü olmadan da yapılabilir.

$U(z)\leq0$ olduğunu kullanarak $e^{f(z)}$ nin sınırlı olduğunu göstermeye çalış.

---

Şöyle desem yanlış olur mu hocam $|e^ (f(z))| \leq e$ olduğu görülür $U(z)\leq0$ olduğundan dolayı 

---

Nasıl görüldüğünü de  (yani $U(z)\leq0$ dan nasıl elde edildiğini) açıklamalısın.

(Bu arada $e$ sayısı, $|e^{f(z)}|$ için en iyi (en küçük) üst sınır değil)

---

Hocam şöyle gördüm şimdi |e^f(z)|=|e^U(z).cis(V(z))|=|e^U(z)| buradan sonra $U(z)\leq0$ oldugundan U(z)=0 olma durumu var en büyük durum bu oluyor yani o da 1 e eşittir buradan en küçük üst sınır 1 `den büyük en küçük sayı olmasını bekleriz 1+epsilon diye mi düşünmeliyiz Hocam

---

$U(z)\leq0$ dan $|e^{f(z)}|=e^{U(z)}\leq e^0=1$ demek yeterli olur.

---

Hocam f(z) nin de  sınırlı olduğunu iki tarafın ln ini Alarak mı söylecegim?

---

Bu şekilde söylemem yanlış oldu herhalde hocam

---

Liouville in teoreminden $e^{f(z)}$ (sınırlı tam fonksiyon olduğu için) sabit olur.

Bu noktadan sonrası da biraz özen gerektiriyor, çünki $e^z$ 1-1 değil.

---

Şimdi hocam şu şekilde düşünüyorum $e^{f(z)}$ nin sabit olduğunu göstermiş olduk buradan her $z\in\mathbb{C}$ için $f(z)$ nin reel olduğunu söyleyebiliriz o  halde f fonksiyonu sabittir diyebilir miyiz?

---

İkinci olarak da şöyle düşünüyorum $e^{f(z)}$ sabit olduğunu göstermiş olduk buradan $e^{f(z)}$ nin turevini aldığımızda $f`(z)=0$ olduğu görülür dolayısıyla f sabittir diyebiliriz

---

Birinci soru:

$e^{f(z)}$ nin sabit oluşundan $f(z)$ nin reel olduğu çıkmaz.

İkinci soru:

Evet $e^{f(z)}$ nin türevi $f'(z)e^{f(z)}$ olduğu ve $e^{f(z)}$ hiç bir zaman 0 olmadığı için, her $z\in\mathbb{C}$ için $f'(z)=0$ olur.

(Özgür ün önerdiği gibi Mobius dönüşümü kullansaydık (Mobius dönüşümleri 1-1 olduğu için) daha hızlı olurdu)

---

Teşekkür ederim hocam