Yorumdaki gibi $G,\ (\mathbb{R},+)$ nin $G\neq\{0\}$ olacak şekilde bir alt grubu olsun ($\{x\in G:x>0\}\neq\emptyset$ olur) .
$s=\inf\{x\in G:x>0\}$ olsun.
1. $s=0$ durumu. ($G$ nin $\mathbb{R}$ de yoğun olduğunu gösterelim)
$a\in\mathbb{R},\ \varepsilon>0$ verilsin. $0<x_1<\varepsilon$ olacak şekilde bir $x_1\in G$ vardır. (Arşimet özelliğini de kullanarak) $nx_1\leq a<(n+1)x_1$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{Z}$ vardır. $nx_1\in G$ dir ve $|a-nx_1|<x_1<\varepsilon$ olur.
2. $s>0$ ve $s\in G$ durumu:
$<s>=\{ns:n\in\mathbb{Z}\}\subseteq G$ olur. Bir $a\in G\setminus<s>$ var olduğunu varsayalım. Birinci durumdakine benzer şekilde, $ns<a<(n+1)s$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{Z}$ vardır. $0<a-ns<s$ ve $a-ns\in G$ olur. Çelişki. Öyleyse, bu durumda, $G=<s>$ olur.
3. $s>0$ ve $s\notin G$ varsayalım.
$s<x_1<2s$ olacak şekilde bir $x_1\in G$ vardır. $x_1>\inf\{x\in G:x>0\}$ olduğundan, $s\leq x_2<x_1$ (aslında $s<x_2<x_1$) olacak şekilde bir $x_2\in G$ vardır. $0<x_1-x_2<s$ ve $x_1-x_2\in G$ olduğundan bir çelişki elde edilir. Bu durum imkansızdır.