Kapalı Fonksiyonların Kısmi Türevleri Hakkında

Question

Aklıma takılan soruyu bir örnek üzerinde izah etmeye çalışacağım .

$F$(x,y,z) = 0 , z yi xy düzleminin bir $\Re$ bölgesinde x ve y nin kapalı bir fonksiyonu olarak tanımlasın.

(1) $F$(x,y,z) = z^2+x^3+y^4 = 0 denkleminde  $F_x$ i bulmak istediğimiz de ''z''  x ve y nin bir fonksiyonu olmasına rağmen  neden x haricindeki tüm değişkenleri sabit tutuyoruz ?

 (2) $F_x$ ni bulmak istiyoruz. $F$ nin x'e göre kısmi türevini alınca  $F_x$ = 0+$3x^2$+0 geliyor yani  $F_x$ = $3x^2$ . Fakat $F$(x,y,z) kapalı fonksiyonu 0 a eşit olduğundan her türlü kısmi türevi $F_x,F_y,F_z$ = 0 olmaz mı ?  

xx

   

Answer 1

$F(x,y,z)=0$ gibi bir (özdeşlik değil) denklemin tanımladığı kapalı fonksiyon $F(x,y,z)$ değil (genellikle) bir $f(x,y)$ (herhangi bir harf kullanılabilir) gibi İKİ DEĞİŞKENLİ bir fonksiyondur. $F(x,y,z)=0$ eşitliği her yerde değil, bir kümede (genellikle yüzey) sağlanır. Amaç, bu yüzeyi (en azından bir parçasını) $z=f(x,y)$ şeklinde yazmaktır. $F(x,y,z)$ ile $f(x,y)$ arasında şöyle bir ilişki (kapalı fonksiyonun tanımı) vardır:

$f$ nin tanım kümesindeki (sorudaki $\mathfrak{R}$) her $(x,y)$ ikilisi için $F(x,y,f(x,y))=0$ (özdeşlik) olur.

Comments

Kapalı fonksiyonun türevi formülü (bazı koşullar sağlandığında)

$f_x(x,y)=-\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}, \ \text{ve }f_y(x,y)=-\frac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}\quad (z=f(x,y))$ 

olacağını söyler.

---

Çok teşekkür ederim saygıdeğer hocam. Beni çok mutlu ettiniz . 

---

Hocam F(x,y,z)=0 gibi denklem sisteminin ne teşkil ettiği konusunda aydınlandım. Kapalı fonksiyonları gayet iyi anladım sayenizde.

Ancak hala şu kapalı fonkisyon teşkil eden F(x,y,z)= 0 denkleminde kısmi türev almayı anlamakta zorlanıyorum.Örneğin :

F(x,y,z)=x^4+ y^3+ z^2 fonksiyonu verilsin . F(x,y,z) = 0 denklemi  z yi xy düzleminin bir R bölgesinde x ve y nin kapalı fonksiyonu olarak tanımlasın. F(x,y,z)=0 denkleminin her iki tarafının x e göre kısmi türevini almak hangi koşullar altında doğru ? Böyle bir işlem bizi 4x^3=0 'a götürmez mi ?

---

Bir denklemin (BAZAN doğru olan eşitlik) her iki tarafının türevi eşit olmak zorunda değildir.

$x=0$ denkleminde iki tarafın türevi eşit değil. Özdeşliklerde her iki tarafın türevi eşit olur.

Ek:

Örneğin

$\sin^2x+\cos^2x=1$ bir özdeşliktir. Her iki tarafın türevi de (özdeş olarak, yani her $x\in\mathbb{R}$ için) eşit olur.

---

Çok sağolun hocam , iyi ki varsınız..