Limit-Süreklilik -Türev Kavramları hakkında

Question

Her sürekli bir fonksiyon türevli midir ?

$ \left| x\right|  $  fonksiyonu süreklidir fakat türevi yoktur.

$ \left| x\right|  $ sürekli olduğu için limiti vardır diyebilirim.

Fonksiyonun türevi olma şartı : Limiti olmalı ve sürekli olmalı diye biliyorum.

$ \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {5}{x} $ , bu fonksiyonun limiti yoktur 0 noktasında limiti olmayan fonksiyonun türevini ve integralini nasıl alıyorum ?

 x = 0 da süreksizlik mevcut. $ \mathbb{R} -\left\{ 0\right\}  $  da mı türevini ve integralini alabiliyorum ?

Bir şeyleri yanlış bildiğimi düşünüyorum yardımcı olabilir misiniz ?

Diğer sorum : Her türevli fonksiyon süreklidir . Bunu nasil ispat ederim ?

Comments

Sol turev ve sag turev kavramlarini duydun mu? Onlari arastrimani oneririm.

---

$f(x)=\frac{f(x) - f(a)}{x-a}(x-a) +f(a)$

Bunu kullan. 

---

Bağlantıyı inceleyin

---

Hocam fark ettimde ben sürekliliği genel alıyorum , sizin verdiğiniz bağlantıda sürekliliği bir nokta için bahsediyoruz.Bir nokta için türevlenebilirse o noktada süreklidir diyebiliyoruz. Bir şeyleri gözden kaçırıyorum anlayamıyorum. 

Yukarıda yazdığım $ 5 / x $ , 0 noktasında süreksiz bu yüzden 0 noktasında türevi yoktur mu diyebiliyoruz ? Diğer tüm noktalarda süreklidir ve türevlenebilir .

$ \lim _{x\rightarrow x_{0}}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}} $  = f'(x) değil mi ?

(x-a) +f(a) bununla niye çarptık anlayamadım, sercan hocam için yazdım bunu.

---

"Fonksiyonun türevi olma şartı : Limiti olmalı ve sürekli olmalı diye biliyorum."

İfadesinde iki sorun var.

Türev tanımında bir limit var ama bu limit o fonksiyonun değil başka bir fonksiyonun limiti.

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ limitinin var olması gerekli ve yeterli. 

Ayrıca fonksiyonun o noktada sürekli olması koşulu yok (çünkü gereksiz. Zaten sürekli oluyor. Sercan ın sözettiği şey bu. Ama sadece bir değişkenli fonksiyonlarda!)

---

Hocam bahsettiğiniz olan fonksiyonun limiti  aslında o fonksiyonun türevinin limit ile gösteriliş hali değil mi ? Verdiğim örnekti 5/x fonksiyonun limiti olmayabilir ama 

$ \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a} $ ,  bunun limiti varsa o zaman türevlenebilir diyoruz.

Hocam şunu idrak edemiyorum.  $ \lim _{x\rightarrow 0} $ gitseydi $ f\left( 0\right) =\dfrac {5}{0} $ oluyor. Değerleri üstteki limite koyduğumuzda bir şey elde edemiyoruz.

" Ayrıca fonksiyonun o noktada sürekli olması koşulu yok (çünkü gereksiz. Zaten sürekli oluyor.  " dediniz . 

İlk yazdığınız cümleyi çok güzel anladım kafamda oturttum . İkinci cümlenizi biraz daha açabilir misiniz ? 

---

Sercan ın yazdığı özdeşlikte (düzeltme) sağ tarafın $x\to a$ iken limitini hesaplayabilir misin?

---

f(x) = f(a) buldum hocam.Dediğiniz özdeşlik bize ne söylüyor?Başında limit olsa türevin tanımı diyeceğim ama x-a ile çarpılıp f(a) ile toplanmış.

---

Sağ tarafın limitini alınca sol tarafın da limitini alman gerekmez mi?

---

Hocam limit sağ tarafını aldığımda  $ \lim _{x\Rightarrow a^{+}}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}\left( x-a\right) +f\left( a\right)  ,\lim _{x\Rightarrow a^{+}}\ \dfrac {f\left( a^{+}\right) -f\left( a\right) }{a^{+}-a}\left( a^{+}-a\right) +f\left( a\right) =f\left( a^{+}\right) $   , 

sol tarafı aldığımda $ \lim _{x\rightarrow a^{-}}\dfrac {f\left( a^{-}\right) -f\left( a\right) }{a^{-}-a}\cdot \left( a^{-}-a\right) +f\left( a\right) =f\left( a^{-}\right) $

sağ limit sol limite eşit olmadı , limit yok diyoruz.Sercan hocanın kullandığı özdeşlik sürekliliğin limit ile tanımını mı veriyor bize ?

---

Ayrı ayrı niye sağdan ve soldan limit alıyoruz?(orada yazılanların da bir kısmı sorunlu)

Bir keresinde iki taraflı limit bulsak daha kolay olmaz mı?

---

yok hocam anlayamıyorum bir şeyleri bilmediğim belli

---

$f(x)=\frac{f(x) - f(a)}{x-a}(x-a) +f(a)$ olduğu için 

$$\lim_{x\to a }f(x)=\lim_{x\to a }\left(\frac{f(x) - f(a)}{x-a}(x-a) +f(a) \right)$$

olmaz mı?

---

Hocam neden f(x) i yazdığınız özdeşliğe eşittir dedik ?  Sizin yazdığınız limit ile ifadede (x-a)lar birbirini götürüyor ve f(a)lar toplanınca birbirini götürünce sadece f(x) kalıyor. Verdiğiniz eşitlik doğru orasını anladım.

---

$f(x)$ ile $\frac{f(x) - f(a)}{x-a}(x-a) +f(a)$ arasında ($x\neq a$ için) bir özdeşlik var.

(Küçük bir "sorun" var: iki taraf, SADECE $x=a$ için farklı. Yani "tam bir özdeşlik" değil. Ama $x\to a$ iken, bunun önemli olmadığını (limit tanımından) biliyorsundur.)

Zaten, özdeşlik olmayıp, sadece eşitlik olsa iki tarafın limitleri aynı olmak zorunda değildir.

---

Aşağıdaki tanımlar ve teoremler (hazmettiysen) kafandaki soru işaretlerini kaldıracaktır.

 

Tanım (Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $\underline{a\in A}$  olmak üzere $$f, a\text{'da sürekli}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Tanım (Limit): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$, $\underline{a\in D(A)}$ ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$\lim_{x\to a} f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Tanım (Türev): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$ ve $\underline{a\in A\cap D(A)}$ olmak üzere $$f, a\text{'da türevli}:\Leftrightarrow (\exists L\in\mathbb{R})\left(\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\right)$$

Teorem: $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $\underline{a\in A\cap D(A)}$ olmak üzere $$f, a\text{'da sürekli}\Leftrightarrow \lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

Teorem: $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $\underline{a\in A\cap D(A)}$ olmak üzere $$f, a\text{'da türevli }\Rightarrow f, a\text{'da sürekli}$$

 

NOT: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$

---

Yukarıdaki yorumda son yazdığım teoremin kanıtına buradaki linkten ulaşabilirsin. (28. slaytta)