Süreklilik ispat

Question

g(x) sürekli bir fonksiyonsa sin(g(x)) ve cos(g(x)) fonksiyonları sureklidir.Bu teorem nasil ispatlanır?

a noktasında süreklilik için 

|sin(g(x))-sin(g(a))| ifadesini epsilondan kucuk yapmak icin dönüşüm formulu ve |sinx|<|x| esitsizliğinden  yararlanmaya çalıştım bir sonuca ulaşamadım.

Comments

Sürekli fonksiyonların bileşkesi de süreklidir. 

---

$|\sin a - \sin b|\le |a-b|$ eşitsizliği de sağlanıyor. 

---

Bu eşitsizliğe nasıl ulaştınız hocam ?

---

$a\neq b$ ise $|\sin a-\sin b|<|a-b|$ olduğu, Ortalama Değer Teoreminden (biraz ekstra uğraş ile) çıkartılabilir. Ama ($\forall x\in\mathbb{R},\ x\neq0$ için $|\sin x|<|x|$ olduğunu kullanarak) daha kolay şöyle görülebilir. ($a\neq b$ için)

$|\sin a-\sin b|=|2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2|\leq\left|2\sin\frac{a-b}2\right|<2\left|\frac{a-b}2\right|=|a-b|$

(Elbette bundan, kolayca, $\forall a,b\in\mathbb{R}$ için, $|\sin a-\sin b|\leq|a-b|$ elde edilir.)

---

$|\sin x|\le |x|$ ispatın nasıl, @Detachment_? 

---

Birim çember üzerinde x derecelik açıya karşılık gelen noktadan x eksenine indirilen dikmenin uzunluğu(sinx) bu açıya karşılık gelen yayın uzunluğundan küçüktür.($\left(-\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}\right)$ aralığında)

---

Yayın uzunluğunun tam a olması için radyan kullanmalıyız.