Çok değişkenli fonksiyonlarda, "türevlenebilme" bir değişkenli fonksiyonlara pek benzemez.
Örneğin $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},\ \ (x,y)\neq(0,0)\\ 0\qquad\quad (x,y)=(0,0)\end{cases}$ fonksiyonu, $(0,0)$ noktasında her iki değişkene göre de kısmi türeve sahiptir ama o noktada sürekli değildir (bu, doğrular boyunca limit tekniği ile görülür). Bu ise 1-değişkenli fonksiyonlardakinden farklı bir durumdur.
Bu nedenle, çok değişkenli fonksiyonlarda, "diferansiyellenebilme" (söyleme ve yazma zorluğu nedeniyle "türevlenebilme" denebilir) diye adlandırılan farklı bir kavram kullanılır. Bu yeni tanım 1-değişkenli fonksiyonlardaki türevlenebilmeye çok benzer davranır.
Bir tanımı: ($f,\ (a,b)$ merkezli bir dairede tanımlı bir fonksiyon olsun)
$\lim_\limits{(x,y)\to(a,b)}\dfrac{f(x,y)-(f(a,b)+A(x-a)+B(y-b))}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}=0$
olacak şekilde $A,B$ gerçel sayıları varsa, $f$ fonksiyonu $(a,b)$ noktasında diferansiyellenebilirdir denir.
(Yorumlardaki bağlantıda aşağıdaki teoremin ispatı, oradaki iki teoremi birleştirerek, var)
Teorem: $f(x,y), (a,b)$ merkezli bir dairede tanımlı, bu dairenin her noktasında $\frac{\partial f}{\partial x}$ ve $\frac{\partial f}{\partial y}$ var ve bu kısmi türevler $(a,b)$ noktasında sürekli iseler, $f,\ (a,b)$ noktasında diferansiyellenebilirdir (ayrıca: $A=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b),\ B=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$ olur) (Daha fazla sayıda değişkenli fonksiyonlar için de bu durum geçerlidir)
Önemli : Ama bu teoremin karşıtı doğru bir iddia değildir.
(Bir değişkenli fonksiyonlarda benzer bir diferansiyellenebilirlik tanımı yapıldığında diferansiyellenebilirlik=türevlenebilirlik diyebileceğimiz aşağıdaki durum ortaya çıkıyor)
Teorem: $f$ bir $a$ sayısını içeren bir açık aralıkta tanımlı, 1-değişkenli bir fonksiyon olsun. O zaman:
$f$ nin $a$ da türevi vardır $\Leftrightarrow\ f,\ a$ da diferansiyellenebilirdir.
(İspatı kolay)