Bir limit sorusu

Question

$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {\sin x}{x}-\cos 2x}{x^{2}}$ değerini bulmak için

yarım açı formüllerinden ve  $lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$ eşitliğinden yararlanmaya çalıştım.Fakat cevaba ulaşamadım

Comments

l'hopital uygun koşullar sağlanana kadar üst üste uygulanabilir. Örneğin ilk l'hopital uygulandıktan sonra yine $\frac{0}{0}$ belirsizliği  çıkıyor ise çıkan limiti yeni bir belirsizlik  ortaya çıkaran bir limit gibi düşünüp tekrar l'hopital uygularsanız ulaşacağınız sonuç size sorulan limit olur.

---

$\dfrac {\frac {\sin x}{x}-\cos 2x}{x^{2}}=\dfrac {\sin x-x\cos 2x}{x^{3}}$

den başlayabilirsin.

---

Hocam ne yaptıysam hep bir belirsizliğe çıktım,l'hopital kuralını da henüz öğrenmedim.

---

$lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos^2(x)}{x^2}$  ifadesine ulaşabildiniz mi ?

---

$\cos(2x)=1-2\sin^2x$ olduğunu kullanarak:

$\dfrac {\frac {\sin x}{x}-\cos 2x}{x^{2}}=\dfrac {\frac {\sin x}{x}-1}{x^{2}}+2\dfrac{\sin^2x}{x^2}$

olduğu için,  daha basit görünen $\dfrac {\frac {\sin x}{x}-1}{x^{2}}=\dfrac{\sin x-x}{x^3}$ ün 0 daki limitini bulmak yeterli olacaktır.

---

Son ifadenin 0 daki limitini hangi yöntemle buldunuz hocam?

---

$\dfrac {\frac {\sin x}{x}-1}{x^{2}}=\dfrac{\sin x-x}{x^3}$ in 0 daki limitini L'Hospital in (aslında Joh(a)n(n) Bernoulli nin ) kuralını kullanmadan bulmak için $\sin x$ için 0 yakınında yaklaşık hesaplayan bir polinoma (veya cebirsel fonksiyona) gerek var.

(Sadece $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ olması yetmez.)

(Türev kullanarak) Taylor polinomu veya Taylor serisi ile böyle yaklaşık hesaplayan fonksiyonlar bulunabilir.

Hiç türev kullanmadan, bana, bayağı zor olur gibi geliyor.