G grup ve x ile y bu grubun elemani olmak uzere x ile y nin mertebeleri aralarinda asal ise x ile y den uretilen alt gruplarin kesişimi

Question

  G bir grup x,y ∈ G olsun.  |x|=10    |y|=21  ise <x> kesişim <y> = {e}  olduğunu gösteriniz.    

   

x in mertebesi 10 ise  x^10= e      aynı şekilde y nin mertebesi de 21 ise y^21=e  dır.   Devamı hakkında yardımcı olur musunuz? 

Comments

$x$'in gerdiği grubun elemanlarına bak. O elemanların dereceleri ne olabilir? Aynı şeyi $y$ için yap.

---

Bu soru hakkında aklımda soru işaretleri var o yüzden tam emin olamıyorum söylediğiniz şeyleri tam olarak gösterebilir misiniz

---

$\langle x \rangle$ kümesinin elemanlarını yazabilir misin?

---

Hayır işte onu yazamadım. { e,x^1,x^2,...x^9}  şeklinde mi olacak

---

Evet. $x$'in derecesi $10$ olduğu için $x^10 = e$ oluyor (ve $10$'uncu kuvvetten önce hiçbir kuvvet $e$'yi vermiyor, dolayısıyla hepsi farklı). Çok güzel.

Şimdi bana $x^2$'nin derecesini, yani $|x^2|$'yi söyleyebilir misin?

---

Hocam bu sorunun ispatıni şu sekilde yorumlasak doğru olur mu? 

|G|=m olsun  x,y ∈ G  ise x ve y nin mertebesi m yi bölmeli 10 ve 21 de aralarında asal olduğuna göre ebob(10,21)=1    

 G grubu bir carpimsal grup olduğundan birim elemanı 1 dır yani bunu e ile gösterirsek

 x ve y nin kesişimı e dir demeliyiz.

Yalnız burada <x>  ve <y>  yi ifade edemiyorum bu nedenle ispatım da açıklık olmuyor. 

---

Benim sorduğum soruyu cevaplayabiliyor musun?

---

 e, x^2, x^4, x^6, x^8      5 mi 

---

Evet, çok güzel.

Şimdi aynı soruyu $x^3, x^4, x^5, x^6, x^7, x^8, x^9$ için yapabilir misin? Bunların dereceleri neler? Bunların derecelerini yorum olarak yaz. Sonra devam edelim.

Not: Görünen o ki ne yapman gerektiğini biliyorsun ama biraz pratik eksiğin var. Yaptıklarından emin olamıyorsun. Elini böyle uzun uzun işlemlere alıştırman lazım biraz ki teoremleri daha iyi kavrayabilesin. Şimdi lütfen teker teker bütün kuvvetlerin derecelerini bul. Sonra sana bir teorem söyleyeceğim.

---

3 için e, x^3, x^6, x^9   =   4 

4 için e, x^4 , x^8 =3

5 için e, x^5   =2 

6 için e, x^6  =2

Aynı şekilde 7 8 ve 9 içinde bu durum gecerli =2 

---

Ok, bunlar yanlış. Ama en azından nerede eksik olduğunu bulmuş olduk! Şahane. Buradan başlayabiliriz. (Eğer sorunu direkt cevaplamış olsaydım, hem sen anlamayacaktın, hem de biz nerede eksik olduğunu görmeyecektik).

$x^3$ için yapalım.

• $x^3 = x^3$
• $(x^3)^2 = x^6$
  
• $(x^3)^3 = x^9$
  
• $(x^3)^4 = x^{12} = x^10 . x^2 = e x^2 = x^2$ demek ki $(x^3)^4 = x^2$.
  
• $(x^3)^5 = (x^3)^4 x^3 = x^2 x^3 = x^5$

Bunun devamını sen getir. $(x^3)^6, (x^3)^7, (x^3)^8 ... $ bunların hepsine bak. Bir noktada $e $ elde edeceksin. $x^3$'ün hangi kuvveti ilk olarak sana $e$'yi veriyor, bunu bul bakalım.

Ekleme: $|x^2| = 5$ olmasının sebebi, $5$'in $(x^2)^5 = e$ eşitliğini veren ilk kuvvet olmasıydı. Sen doğru sayıyı vermiş olmana rağmen, yanlış bir akıl yürütmüştün. Dolayısıyla aynı soruyu $x^3 için yapınca bunu keşfetmiş olduk.

---

x^3 un 10 nuncu kuvvetinde e yi elde ettim

---

Bu da demek oluyor ki $x^3$'ün derecesi $10$. Yani, $|x^3|=10$. Güzel.

Aynı şeyleri $x^4$'ten $x^9$'a kadar da yap bakalım. Bu son. Eğer bunları doğru yaparsan küçük bir gözlem ile bir teoremi hatırlayacağız.

O teorem yardımıyla da soruyu bitireceğiz.

---

|x^4|=|x^6|=|x^8|=5 

|x^5|=2   |x^9|=10 

Answer 1

Yorumlarda elfkay'ın yaptığı bir gözleme bakalım.

Gözlem: Eleman sayısı $10$ olan bir grup aldık. Elemanlarının derecelerine baktık. Bu derecelerin $1,2,5$ ya da $10$ olduğunu gördük.

Bu gözlem bize bir teoremi hatırlattı.

Teorem: Elimizde eleman sayısı $n$ olan bir grup olsa ve bu gruptan herhangi bir eleman alacak olsak, aldığımız elemanın derecesi $n$'yi böler.

Bu teorem yardımıyla şunu söyleyebilirim. 

• $\langle x \rangle $ grubunun elemanlarının dereceleri $1,2,5, 10$ olabilir.
• $\langle y \rangle $ grubunun elemanlarının dereceleri $1,3, 7, 21$ olabilir.
• Eğer bir eleman bu grupların ikisinde birden bulunuyorsa o zaman o elemanın derecesi ne olmalıdır?
• Eğer bir elemanın derecesi $1$ ise o eleman nedir?

Soru bitmiştir.

Comments

Çok teşekkür ederim hocam 

---

Özgür hocam sabırlı açıklamalarınızdan ve çözümünüzden dolayı tebrik ediyorum.

Ayrıca soruyu Akademik Matematik bölümü yerine, Lisans Matematik bölümüne taşırsak uygun olur.

Answer 2

Lagrange teoremine göre, sonlu bir grupta alt grubun mertebesi grubun mertebesini böler.

Ayrıca bir grubun iki alt grubunun kesişiminin de bir alt grup olduğu iyi bilinen bir teoremdir. Bunları kullanalım: 

$<x> \cap <y> $ alt grubunun mertebesi $n$ olsun. Lagrange teoremine göre, $n$ pozitif tam sayısı $ |<x>|=10 $ ve $|<y>|=21$ değerlerini de böleceğinden bunların en büyük ortak bölenini de böler. $(10,21)=1$ olduğundan $n|1$ dir. Yani $n=1$ olmalıdır.

O halde tek elemanlı $<x> \cap <y> $ alt grubu yalnızca birim elemandan oluşur. $<x> \cap <y> = \{ e \}$ dir.