Topoloji ile ilgili bir soru

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzayları olmak üzere $``((X,\tau_1), \ T_0 \text{ uzayı}) (\tau_1\subseteq\tau_2)\Rightarrow (Y,\tau_2), \ T_0 \text{ uzayı}”$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız?

Comments

Cevabını biliyorum kendim çözdüm farklı bakış açıları ve farklı fikirler görmek için sordum

---

$X$ ile $Y$ aynı küme  mi?

---

X ile Y  hakkında birşey belirtilmemiştir  Doğan hocam o yüzden  durumlara göre inceleme yapmalıyız.

---

$X$ meyveler kümesi; $\tau_1$, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji; $Y$ sebzeler kümesi ve $\tau_2$’nin de $Y$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu varsayalım. Bu durumda $\tau_1$ topolojisinin elemanları ile $\tau_2$ topolojisinin elemanlarını nasıl kıyaslayacaksın?

---

Elimizde verilen önermenin hipotezinde kıyaslanabilir topolojiler için olduğu belirtmiştir hocam sizin dediğiniz ifadeye göre kıyaslama yapamayız takibi 

---

O zaman soruya $X\subseteq Y$ veya $Y\subseteq X$ koşulunu eklemek daha iyi olmaz mı?

---

Aslında verilenden $X\subseteq Y$ olduğu çıkar.

Ama, cevap, $X=Y$ ve $X\subsetneq Y$ olması durumuna göre değişir. 

O nedenle sordum.

---

Evet hocam haklısın ama kafamı kurcalayan şöyle bir ifade de var eğer ki sizin dediğiniz ifadeye göre kıyaslanamaz topolojiler olarak düşündüğümüzde  verilen önermenin hipotezinin doğruluk değeri 0 olup bu önermenin mantıksal sonuçtan doğru olduğu söylenebilir mi (yoksa kıyaslama yapamadığımız için doğruluk değeri hakkında birşey söyleyemez miyiz?)

---

Kıyaslama yapamadığın durumda $$\tau_1\subseteq \tau_2$$ önermesinin doğruluk değeri $0$ olacağından $$(\underset{p}{\underbrace{(X,\tau_1), \ T_0 \text{ uzayı}}}) (\underset{0}{\underbrace{\tau_1\subseteq\tau_2}})\Rightarrow \underset{q}{\underbrace{(Y,\tau_2), \ T_0 \text{ uzayı}}}\equiv (p\wedge 0)\Rightarrow q\equiv 1$$ elde edilir.

---

Bende bu şekilde düşünmüştüm hocam. Şimdi o zaman sorunun eksikliği kalmadığı kanısına varabilir miyiz? Doğan hocam o yüzden durumlara göre inceleme yapmamız gerekiyor onun farkındayım.İlk durum olarak $X=Y$ olsun deyip verilen önermeyi kanıtlarız ikinci durum olarak ise $X$ ile $Y$  farklı olsun deyip buna da ters örnek vererek söyleyemez miyiz? ( Yoksa verilen ifadeye önerme dediğimiz için önermenin tanımı gereği ya doğru ya da yanlış olamayacağından (durumlar altında da olsa)o  yüzden soruya $X\subsetneq Y$ ifadesini eklemeli miyim?)

---

Sen bu soruyu nasıl çözdüm HakanErgun?

---

İlk durum olarak $X=Y$ olsun deyip ifadeyi ispatladım ikinci durum olarak ise $X\neq Y$ olsun deyip ters örnek verdim hocam