Ayırma aksiyomları neden önemli?

Question

Sitede ayırma aksiyomları ile ilgili geniş bir arşiv oluşurken ben de bir yandan aldığım ilk topoloji dersini hatırladım. Dersin hatırı sayılır bir bölümünde bu aksiyomlardan bahsettik: T1, T2, normal, Hausdorff, örnekler - karşıörnekler vesaire. Ama daha sonra karşıma çıkan örnekler ya çok güzel topolojik uzaylar (manifoldlar mesela, ya da metrik uzaylar) ya da çok kötü topolojik uzaylar (Zariski topolojisi mesela) oldu.

Bu sebeple birkaç soru sormak istiyorum.

1. Anladığım ve hatırladığım kadarıyla metrik uzaylar bütün ayırma aksiyomlarını sağlıyor. Bu aksiyomlar da uzayımızın metrikleştirilebilmeye ne kadar yakın olduğunu ölçüyor. Bunda haklı mıyım? 
2. Önemli ya da doğal örnekler neler bu konuda? Burada önemli derken ya aktif bir şekilde insanların yapısını anlamaya çalıştığı bir nesne ya da zamanında üzerine bolca çalışma yapılmış bir nesneden bahsediyorum. Mesela $T_x$ uzayı olup $T_y$ olmayan bir uzay (ya da uzay çeşidi) var mı ki üzerine çokça düşünülmüş, bolca makale yazılmış, bir alan oluşturmuş, iki alan arasında bağlantı kurmuş vs vs olsun. Doğal derken de kastettiğim bu uzayın bir şekilde sırf karşıörnek oluşturmuş olmak için oluşturulmamış, kendi başına da anlamlı ve önemli bir uzay olması.
3. Bir önceki soruya ek olarak, siz kendi çalıştığınız alanda en son ne zaman bu ayırma aksiyomlarının arasındaki nüansların hakkını veren bir örnek gördünüz ya da bu aksiyomları kullanarak bir teorem kanıtladınız (ya da bir kanıt gördünüz?)
4. Ekleme: Bu aksiyomlarla aynı olmayan ama bu aksiyomlardan ilham alarak tanımlanmış aksiyomlar var mı başka alanlarda, örnekler?

Comments

1. sorunun yanıtı senin de ifade ettiğin gibi aksiyomlar topolojik uzayın metrikleştirilebilmeye ne kadar yakın olduğunu “ölçüyor”.

---

Topoloji dersi alırken bende bıraktığı genel his, zoraki oluşturulmuş bir matematiksel alan gibiydi. Topoloji kavramına ihtiyaç duyduracak temel sebepler nelerdir, bunları göremedim. Birden bire topoloji ve kavramlarını karşımda buldum. Herhalde bazı matematikçilerin makale yazma ihtiyacı vardı ve bu ihtiyacı gidermek için ite kaka topoloji alanını oluşturmuş olmalılar diyordum :))

Calculus öyle değildi, bunun öncesinde kimi ülkelerde lisede algebra, pre-calculus gibi dersler de vardır. Sonra calculus görülür ve anlamlı gelir. (Bizde de liselerde bu derslere karşılık gelen matematik dersleri vardır.)

Topolojinin öncesini de bir şekilde görmüş olsak, bu sürecin nasıl ortaya çıktığını daha iyi anlayabilirdik. Pre-topology gibi bir ders olsaydı mesela böyle dumur olmazdık. Eğitim bilimlerinde, bir kavramın daha güç öğrenilmesinde epistemolojik etkenler üzerinde de durulur. Tarihsel gelişim sürecinden kopararak sunulan kavramlar öğrenciler için daha bir anlaşılmazdır.

(Özgür bey'in sorularının cevaplarını ben de merak ediyorum.)

---

Calculus'un bir alt sınıfı pre-topology aslında. 

---

(4) için:

Buradaki karakterizasyonu kullanarak bir şemanın (scheme) ayrık (separated) olmasını tanımlayabiliyoruz mesela.

$T3$, $T4$ için böyle bir şey var mı?