$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$(X,\tau), \ T_4 \text{ uzayı}\Rightarrow (X,\tau), \ T_3\text{ uzayı}$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani her $T_4$ uzayının bir $T_3$ uzayı olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Regüler olan $T_1$ uzayına $T_3$ uzayı ve normal olan $T_1$ uzayına da $T_4$ uzayı dendiğine göre $T_4$ uzayı olan topolojik uzayın regüler olduğunu gösterirsek kanıt biter.

$x\notin F\in\mathcal{C}(X,\tau)$ olsun.$\left.\begin{array}{r} x\notin F\in\mathcal{C}(X,\tau)  \\ \\ (X,\tau), \ T_4 \text{ uzayı}\Rightarrow  (X,\tau), \ T_1\text{ uzayı} \end{array} \right\}\overset{?}{\Rightarrow} \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{c} (\{x\},F\in\mathcal{C}(X,\tau))(\{x\}\cap F=\emptyset) \\ \\(X,\tau), \ T_4 \text{ uzayı}\Rightarrow  (X,\tau), \text{ normal} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists U\in \mathcal{U}(\{x\}))(\exists V\in \mathcal{U}(F))(U\cap V=\emptyset) \\ \\ \mathcal{U}(\{x\})=\mathcal{U}(x)\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in \mathcal{U}(x))(\exists V\in \mathcal{U}(F))(U\cap V=\emptyset).$

Not:   $\mathcal{U}(\{x\}):=\{U|\{x\}\subseteq U\in\tau\}=\{U|x\in U\in\tau\}=\mathcal{U}(x).$

Comments

"?" işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesine buradaki linkten ulaşabilirsiniz.