Süreksizdir diyebilir miyiz?

Question

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{6}{x^2-9} &,&x<-2\\ x+\lfloor x\rfloor & ,&-2\leq x<2 \\ x^2+\text{sgn}(x-7) & ,& 2\leq x \end{array}\right.$$

Sorum $x=-3$ değerinde fonksiyonun sürekliliği hakkında yorum yapmak doğru olur mu ?Fonksiyon belirmesi için $x=-3$ noktasının fonksiyonun tanım kümesinde olmaması gerektiğini düşünüyorum.Bir kitapta -3 süreksiz yapan noktadır diye geçmiş bunu dememiz doğru mudur acaba

Comments

Çoğunlukla, bir fonksiyona tanımlı olmadığı noktada "süreksizdir" deriz.

"Süreksizlik aranmaz" gibi şeyler de kullananlar da var ama bence bir yararı yok.

Eğer öyle kullanılırsa;

$f(x)=\frac{|x|}x$ fonksiyonu için $0$ noktasında 

"süreksizlik aranmaz ama sıçrama tipi süreksizliği vardır" 

demek zorunda kalırız.

---

İlk olarak şunu belirtmekte fayda var diye düşünüyorum. $f$ BAĞINTISI fonksiyon değil. Süreklilik veya süreksizlik FONKSİYONLAR için söz konusu edilir. Dolayısıyla sorunuz bu durumda anlamlı değil anlamsız. 

---

Ben de Doğan Dönmez'e katılıyorum.

@murad.ozkoc neden fonksiyon değil?

---

Gerçel değişkenli ve gerçel değerli fonksiyonlar ile çalışırken ÖZEL olarak tanım ve hedef kümeleri VERİLMEMİŞ ise fonksiyonu, fonksiyonun kuralının gerçel sayı sonucu verdiği $\mathbb{R}$'nin en geniş altkümesinden $\mathbb{R}$ kümesine tanımlanmış olarak kabul ederiz. Genel yaklaşım genel eğilim de bu yöndedir. Mesela $$f(x)=\frac{1}{x^2-9}$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu denseydi biz bunu $\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$ kümesinden $\mathbb{R}$ kümesine diye düşünürdük. Fakat buradaki durum farklı. $x<-2$ ise $f(x)=\frac{1}{x^2-9}$ denerek $x$ nesnelerinin nereden seçileceği ÖZEL olarak BELİRTİLMİŞ. Artık $x$ nesnelerini nereden seçeceğimiz belli. Buradaki durum yukarıda ifade ettiğim durum ile aynı değil.

Öte yandan $f(x)=\frac{1}{x}$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu dendiğinde (özel olarak tanım ve hedef kümeleri belirtilmedikçe) bu fonksiyonu $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ kümesinden $\mathbb{R}$ kümesine düşünüyoruz. Fakat $$f(x)=\frac{1}{x}$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu (!) $0$ noktasında sürekli midir? şeklinde bir soru sorulursa bu soru anlamsız bir soru olur. Çünkü $f$ BAĞINTISININ kendisi bir FONKSİYON değildir. Süreklilik ve benzer şekilde süreksizlik kavramı, fonksiyonlar için söz konusu edilir. Bağıntılar için süreklilik veya süreksizlik söz konusu değildir.

---

Anladım teşekkür ederim birkaç kpss kitabında bu tarz soru gördüğümden biraz kafam karıştı f fonksiyon olmadığını oyüzden de süreklilikten bahsetmemizin doğru olmadını düşünüyordum.

---

Gördüğün gibi ( $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$) bir fonksiyon olmadığı  görüşünde olan matematikçiler de var.

$f:\mathbb{R}\setminus\{-3\}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu dense idi herkes (fonksiyon olduğu konusunda) aynı görüşte oluyor.

"Süreksizdir" deme konusunda da aynı nedenle biraz farklı görüşler var:

Benim seçimim: "$-3$ de tanımlı olmadığı için sürekli değildir" 

(Bazı matematikçiler bir fonksiyona , tanımsız, olduğu bir noktada, "süreksizdir" demeyi uygun bulmuyorlar ama ben, "süreksizdir" demenin hiç bir sakıncasını göremiyorum.)

---

Sorunun kaynakta yer aldığı biçimini (oradaki ifadenin aynısını) yazmak mümkün mü?

---

Kaynakta soru yukarıda belirttiğim f fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar nedir? şeklinde ekstra başka bir verilen bilgi yok hocam