Matris gosterimi daha kolay geliyor bana. $f\circ g=f(g)$ oldugunu kabul edersek, $S$'yi dogru bulmussun.
$S=( 125)( 38)( 46)=\left(
\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
2 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 \\
\end{array}
\right)$
$S^2=S\circ S=\left(
\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
2 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 \\
\end{array}
\right)\circ\left(
\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
2 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 \\
\end{array}
\right)$
$=\left(
\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
5 & 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 7 & 8 \\
\end{array}
\right)=(152)$
Ne yaptik burda. Fonksiyonlardaki gibi bilesim ozelligi kullanildi, yani $f\circ g=f(g)$. Sagdan basliyoruz. Sagda $1\rightarrow 2$, soldaki permutasyona gec, $2\rightarrow 5$, demek ki $1\rightarrow 5$ olacak.
Sagda $2\rightarrow 5$, soldaki permutasyona gec, $5\rightarrow 1$, demek ki $2\rightarrow 1$ olacak.
Sagda $3\rightarrow 8$, soldaki permutasyona gec, $8\rightarrow 3$, demek ki $3\rightarrow 3$ olacak.
$S^3$'u bulmaya calis bakalim.
$S^3=S^2S=S^2\circ S=\left(
\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
5 & 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 7 & 8 \\
\end{array}
\right)\circ\left(
\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
2 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 \\
\end{array}
\right)$
Umuyoruz ki belli bir kuvvet bize birim permutasyonu verecek, yani herkes kendine gidecek. Bi nevi grubun periyodunu ariyoruz, gerisi kolay.
Bu arada neden $S^3=SS^2=S\circ S^2$ yapmadik bi dusun bakalim.