Question

$a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb{R}^{\geq 0}$ olmak üzere $$\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n}\leq \frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$a_k$ değerlerinden en az biri $0$ olursa geometrik ortalama değeri $0$ olduğundan eşitsizliğin sağlandığı barizdir. O halde her $k=1,2,\dots , n$ için $a_k>0$ alarak işlemlerimize devam edebiliriz. $f: (0,\infty ) \to \mathbb R$, $f(x)=\log(x)$ fonksiyonu konkav olduğundan Jensen eşitsizliğinde $\lambda_k = \dfrac{1}{n}$ alarak $$f\left(  \dfrac{1}{n}a_1 + \dfrac{1}{n}a_2 + \cdots + \dfrac{1}{n}a_n \right) \geq \dfrac{1}{n}\left( f(a_1)+f(a_2)+\cdots + f(a_n) \right) $$

buluruz. Buradan da $$ \log\left( \dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\right) \geq \dfrac{1}{n}\left( \log a_1 + \log a_2 + \cdots + \log a_n \right) $$ yazılır. Logaritma özelliklerinden:

$$ \log\left( \dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\right) \geq \log \left( a_1\cdot a_2 \cdots a_n \right)^{1/n} $$

olup üs alınırsa

$$ \dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdots a_n}$$

klasik Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği elde edilir.

Not: Jensen eşitsizliğinde pozitif $\lambda_k$ sayıları $$\sum_{k=1}^{n}\lambda_k =1 $$ eşitliğini sağlayacak biçimde seçilmektedir. Yukarıdaki ispatta $\lambda_k=\dfrac{1}{n}$ eşit terimler olarak seçilmiştir. Fakat genel halde eşit seçme zorunluluğumuz yoktur. Bu durumda da 

$$ \lambda_1a_1 +\lambda_2a_2 + \cdots + \lambda_na_n \geq a_1^{\lambda_1}\cdot a_2^{\lambda_2}\cdots a_n^{\lambda_n}$$

olarak bilinen ve daha genel biçimdeki Ağırlıklı Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği'ne ulaşırız.

Comments

Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ve Cauchy-Schwarz, Hölder, Minowski gibi klasik eşitsizliğin elemanter ispatları için P.P. Korovkin'in ölümsüz eseri Eşitsizlikler incelenebilir. Kitap birçok dile çevrilmiştir ve Türk Matematik Derneği tarafından da 70'li yıllarda Türkçe tercümesi yapılarak yayınlanmıştır. 

Nette Korovkin Inequalities kelimeleriyle arama yapılırsa İngilizce olarak pdf formatında ücretisiz bulunuyor. Meraklıları için bilgilendirmiş olalım.

Answer 2

Ortalama eşitsizliği sorusunun sorulma amacı olan $e$ nin Tanımı ile ilgili sorular dizisini bütün olarak göz önüne alırsak burada verdiğim logaritma fonksiyonlu Jensen'li ispat, bilimsel hiyerarşiyi çiğneme riski taşıyor. Çünkü logaritma fonksiyonunun konkavlığını ispatlarken türev kullanacaksak, logaritmanın türev formülünü limitli tanımdan

$$\lim_{h\to 0}\dfrac{\log (x+h) - \log(x)}{h}=\log \lim_{h\to 0}\left(\dfrac{x+h}{x} \right)^{1/h}$$

yardımıyla elde etmek gerekir ki yine $e$ sabitini işin içine öyle böyle karıştırmış oluruz. Dolayısıyla izlenebilecek adımlardan birisi, amaca uygun olması bakımından çok daha elemanter bir yol tercih etmek gerekir. Diğer bir yol da logaritma fonksiyonunun konkavlığını mümkünse türeve bulaşmadan göstermektir. Zira, konvekslik kavramı hiç türev kavramı kullanılmadan tanımlanmaktadır. $y= \log x$ in konkavlığı grafiğinden görülüyor ancak türev kullanmadan ispatlamayı denemedim de. Grafiğe bakmak burada sezgisel oluyor.

Böylece diğer yolu tercih etmek şu aşamada daha makul duruyor. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinin ispatını elemanter bir yolla yapalım. Tümevarım kullanılabilecek bir yöntemdir.

$n=2$ ve $a,b>0$ sayıları için $\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ olduğunu göstermeliyiz. Bunun için her iki tarafın karesini alırsak $(a+b)^2\geq 4ab$ olup $(a-b)^2\geq 0 $ elde edilir. Yani $$ \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \iff (a-b)^2\geq 0 $$ buluruz. Tam kare ifadeler negatif olmadığından bu eşitsizlik doğrudur.

Bundan sonrasını yazmak biraz yorduğu için Korovkin'in kitabında verdiği iki teoremine havale ediyorum. Bu iki teorem, beraberce aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini ispatlıyor. $A\geq G$ eşitsizliğinin başka elemanter ispatları da var.