$ H^{\ast } \triangleleft ($$H$ x $K$) ve $ K^{\ast } \triangleleft ($$H$ x $K$) olduğunu gösterin.

Question

$ H^{\ast }=\left\{ \left( h,1\right) ,h\in H\right\} $ ve $K^{\ast }=\left\{ \left( 1,k\right) ,k\in K\right\} $

$i) $$ H^{\ast } \triangleleft ($$H$ x $K$)  ve $ K^{\ast } \triangleleft ($$H$ x $K$) olduğunu gösterin .(with  $H^{\ast }\cong H,K^{\ast }\cong K$ )

Soruya şöyle başladım $(i)$ şıkkı için 

$N\triangleleft G\rightarrow gng^{-1}\in N,g\in G,n\in N $

 $ H^{\ast } \triangleleft ($$H$ x $K$) için

$ \left( h_{1},k_{1}\right) \in H\times K$ ve $\left( h_{2},1\right) \in H^{\ast } $ dedim.

$ \left( h_{1},k_{1}\right) \cdot \left( h_{2},1\right) .\left( h_{2},k_{2}\right) ^{-1} $ = $=\left( h_{1},k_{1}\right) .\left( h_{2},1\right) .\left( h^{-1}_{2}k^{-1}_{2}\right) $ 

böyle diyip devamını getiremedim.

$ii)$ $\left( H\times K\right) /K^{\ast }\cong H $

bu şık hakkında izomorfizma teoremlerini kullanarak bir şey elde etmeliyim galiba ne yapabilirim?

Answer 1

İlk kısmı tamamen tanım.

İkinci kısım için bir $\phi$ fonksiyonu tanımlayalım şu şekilde $\phi : H \times K \to H$ öyle ki $(h,k) \to h$.

Ve $ker\phi= \{ (h,k) \in H \times K \mid \phi( (h,k))= e_H \} = \{ (h,k) \in H \times K \mid h= e_H \} = \{ (e_H,k) \in H \times K \} = K^{*} $.

Gerisi, $1$.izomorfizma teoremi.