Leibniz kuralı, çoğu zaman $\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt$ yi bulmak için kullanılır.
Ama burada, biraz farklı olarak, $\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,t)\,dt$ bulunmak isteniyor.
İntegrand yalnızca $t$ ye değil, $x$ e de bağlı. Bu durumda (diğer koşullar sağlandığında):
$\frac d{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,t)\,dt=\int_{g(x)}^{h(x)}\frac {\partial f(x,t)}{\partial x}\,dt+f(x,h(x))h'(x)-f(x,g(x))g'(x)$
oluyor. ( burada)
Bu nedenle, formülde,$\int_{g(x)}^{h(x)}\frac {\partial}{\partial x}f(x,t)\,dt=\int_0^{x^2}\frac{\cos(x\sqrt t)}{\sqrt t}\,dt=\left.2\frac{\sin(x\sqrt t)}x\right|_0^{x^2}=\frac{2\sin(x^2)}x$
terimi de ortaya çıkıyor.
(integralin özge(=has olmayan=improper) olması ($\frac{\sin(x\sqrt t)}t$ nin 0 da süreksiz olması) nedeniyle, son terim, yerine limit yazılmış)
(edit: biraz kısaltma, biraz daha açıklama)