Soru efsane zor bir bakın (fonksiyon)

Question

f : N -> N 

f(n) = 1 (n=1 ise) 

f(n) = 1 (n=2 ise)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n>2 ise) 

tanımlanıyor. A = {1,2,3...,2017} kümesi için f(A) kümesindeki doğal sayılardan kaç tanesi 8 ile tam bölünür ?

Comments

Fibonacci dizisi bu..

---

Evet fibonacci ama kaç tanesi 8 ile bölünür nasıl yorumlayacağız ?

---

Siz bu soruda ne düşündün / denediniz?

Answer 1

Her $n.$ Fibonacci sayisi $F(n)$'nin katidir.

$\{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...\}$

Yani $6.$ Fibonacci sayisi $F(6)$'nin katidir mesela. Dogrumu?

$6.$ Fibonacci sayisi$=8$ ve $F(6)=8$, dogru.

Bu su demek, dizideki her $6.$ sayi $8$' in katidir.

$2017$ in icinde kac tane $6$ var?

$\left\lfloor{2017/6}\right\rfloor=336$ tanesi $8$ ile tam bolunur.

Peki kac tanesi $7$ ile tam bolunur?

Yapilmasi gereken, dizide $7$'ye bolunen en kucuk sayinin indeksine bakmak(yani sayinin dizideki sirasi). Sayimis $21$ ve $21$'in indeksi=$8$ oldugundan her $8$. sayi $7$ ile tam bolunur. Yani $7$ sayisinin periyodu $8$'dir.

$\left\lfloor{2017/8}\right\rfloor=252$ tanesi $7$ ile tam bolunur.

Peki kac tanesi $9$ ile bolunur?

Yapilmasi gereken, dizide $9$'a bolunen en kucuk sayinin indeksine bakmak(yani sayinin dizideki sirasi). Sayimiz $144$ ve  $144$'in indeksi=$12$ oldugundan her $12$. sayi $9$ ile tam bolunur. Yani $9$ sayisinin periyodu $12$'dir.

$\left\lfloor{2017/12}\right\rfloor=168$ tanesi $9$ ile tam bolunur.

Comments

Her n. fibonacci sayısı F(n) in katıdır ifadesine nasıl bir düşünceyle ulaştınız ?

---

Dizinin {tek,tek,cift,tek,tek,cift,tek,tek,cift,tek,tek,cift,...} oldugunu gozlemle.

Yani $\mod(2)$ ye gore dizimiz periyodik $\{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,
  0,...\}$

Bu da biz her 3. elemanin 2'ye tam bolunecegini soyler.

Digerleri icinde yaptigimizda, yine periyodik oldugnu goruruz.

 

Her 3. Fibonacci sayisi 2'nin katidir.

Her 4. Fibonacci sayisi 3'nin katidir.

Her 5. Fibonacci sayisi 5'nin katidir.

Her 6. Fibonacci sayisi 8'nin katidir.

Her 7. Fibonacci sayisi 13'nin katidir.

Her 8. Fibonacci sayisi 21'nin katidir.

$\vdots$

---

Fibonacci dizisi her modda "periyodik" olur, çünkü ardarda iki terimin, seçilen modda, alabileceği alabileceği (iki) değer için sonlu sayıda seçenek var. 

Bir kez önceki çiftlerden biri ile aynı (iki) değeri alınca, tanımı gereği, aynı şekilde devam etmek zorunda. "Periyot" için de kolayca bir üst sınır bulunabilir.

---

Teşekkürler cevap için