$n\in\mathbb{Z}^+$, $n^2$ ile $(n+1)^2$ arasında en az bir asal sayı olduğunu ispatlayınız

Question

n€Z     n^2 ile  (n+1)^2  arasında en az bir asal sayı olduğunu ispatlayınız   n doğal sayıdır

Comments

Siz bu soruda ne düşündünüz/ denediniz?

---

Faktöriyel hesaplarından bir şeyler denedim saçmaladım....

Bilgisayar kullandım fakat Elime elle tutulur bişey geçmedi

---

Problemin ifadesi biraz Betrand Postülatı'na benziyor: Her $n>1$ tam sayısı için $n<p<2n$ olacak biçimde bir en az bir $p$ asal sayısı vardır.

Yukarıdaki problem ilginç olmuş.

---

Bu soru bana da ilginç geldi.

Bir kaç sorum var:

Bu bir tahmin mi yoksa gerçekten doğruluğu ispatlanmış bir önerme mi?

(Küçük sayılarda doğru görünüyor)

Ben lisans düzeyi olarak değiştirdim ama kategori Akademik olması daha uygun gibi.

Biraz daha bilgi verebilir misiniz?

(Ek: $n=0$ için yanlış olduğu için, başlıkta, $n\in\mathbb{Z}^+$ olarak değiştirdim.)

---

Lokman hocam merhaba 

Sizi bu bu platformda görmek bana mutluluk verdi. Videolarınız sayenizde bilgisayar olimpiyatlarında derece getirdim. Ne yazık ki matematik olimpiyatlarında derece getiremedim. Ve şu anda bende sizin izinizden giderek youtubeda fizik olimpiyat dersleri ve bilgisayar olimpiyat dersleri yayınlıyorum. Soru hakkında ise...Bu problemi ben bi yerde görüp görmediğimi hatırlamıyorum soruyu bende türetmiş olablirim hocam. 

---

Doğan hocam soruyu araştırdım. Ama Gördüğüm kadarıyla bu soruyla ilgili bir çalışma göremedim. ingilizce ve türkçe kaynaklarda araştırdım fakat yok. Pozitif tamsayılarda yukarıdaki ifade doğrumudur? Soru oldukça kompleks. Tıpkı fermatın son teoremi gibi. 

---

Legendre Sanısı diye geçiyormuş literatürde.

---

Ben de araştırınca, bunun iyi bilinen (eski)  bir "sanı" (tahmin) olduğunu gördüm.

"Legendre ın sanısı" ( https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture) olarak biliniyor.

Orada (2019 itibarı ile) henüz (doğru veya yanlış oluşunun) ispatlanamadığı belirtilmiş.

Ama (Ağustos 2019 da) İspat ettiğini iddia eden bir Hintli matematikçi var (https://arxiv.org/pdf/1908.08995.pdf) (tam inceleyemedim ama)  ben o ispattan tam emin olamadım.

---

Theorem 2.1.'in kanıtında seçilen $p$'nin asal olduğuna dair hiçbir kanıt yok. Zaten seçilen $p$ de başlanan $x$'e (ya da $y$'ye?) eşit. Asal kelimesinin geçtiği tek yer sondan ikinci cümle, o cümlenin de ne anlama geldiği belli değil. Dolayısıyla, soru açık gözüküyor hala.

---

@Meraklımatçı öncelikle bilgisayar olimpiyat başarınız için tebrik ediyorum. Videoların işinize yaramasına sevindim. Size de çalışmalarınızda kolaylıklar diliyorum.