$\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}$ üstten sınırlı bir küme ve $x\in\mathbb{R},$ $A$ kümesinin bir üst sınırı olsun. $$\sup A=x\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists a_{\epsilon}\in A)(x-\epsilon<a_{\epsilon}).$$

Question

$\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}$ üstten sınırlı bir küme ve $x$ gerçel sayısı, $A$ kümesinin bir üst sınırı olmak üzere $$\sup A=x\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists a_{\epsilon}\in A)(x-\epsilon<a_{\epsilon})$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(\Rightarrow):$ Bu kısmın kanıtı için olmayana ergi yöntemini kullanalım. $\sup A=x$ olsun ve  $$(\forall \epsilon >0)(\exists a_{\epsilon} \in A)(x- \epsilon < a_{\epsilon})$$ önermesinin YANLIŞ olduğunu yani $$(\exists \epsilon >0)(\forall a_{\epsilon} \in A)(a_{\epsilon} \leq x- \epsilon)$$ önermesinin DOĞRU olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr} (\exists \epsilon >0)(\forall a_{\epsilon} \in A)(a_{\epsilon}\leq x- \epsilon) \Rightarrow x-\epsilon\in A^{ü}  \\ \\ x- \epsilon < x=\sup A \end{array}\right\} \Rightarrow \text{ Çelişki.}$

O halde varsayımımız yanlış yani $$(\forall \epsilon >0)(\exists a_{\epsilon} \in A)(x- \epsilon < a_{\epsilon})$$ önermesi doğrudur.

$(\Leftarrow):$  $\sup A=x$  ve  $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0\Rightarrow x-\epsilon<x=\sup A\Rightarrow x-\epsilon\notin A^{ü} \\ \\ \sup A=x\end{array}\right\} \Rightarrow (\exists a_{\epsilon}\in A)(x-\epsilon<a_{\epsilon}).$

Not:  $A^{ü}:=\{x|x, A\text{'nın üst sınırı}\}=\{x|\forall a(a\in A\Rightarrow a\leq x)\}$

Comments

Yeter kısmını tekrar ele almak lazım.

---

İlk olarak $ S^{ü} $ yerine $ A^{ü} $ olacaktı sanırım hocam. İkinci olarak  bu çözüm gerek kısmı için alternatif farklı bir çözüm.

---

Evet Hakan haklısın. Düzelttim. Teşekkür ederim.