Türev max min nokta sorusu

Question

f(x)=x³+ax²+bx+c fonksiyonunun A(1, -1) noktasında yerel maksimumu vardır. a sayısının alacağı en büyük tam sayı değeri için c gerçel sayısı kaçtır?

Comments

Soruyu çözmek için harcadığınız çabalarınız paylaşır mısınız? 

---

Tabi ki. f(1)= -1 için fonksiyonu yazıp a+b+c= -2 buldum sonra f'(1)=0 için yazdım fonksiyonu ve 3+2a+b=0 dan b= -2a-3 buldum. bu iki denklemi de düzenleyip a= c-1 buldum sonrasında f'(x)=3x²+2ax+b için yerel max olması en az bir kökü olması demektir diye düşünüp delta büyük o dır diye düşündüm  burdan (a+3)²>0 geldi sonra tıkandım a nın en büyük değerini nasıl elde edeceğimi düşünemedim bir türlü.

---

$3x^2+2ax+b$ nin  diskriminantını ($\Delta$) doğru hesapladığına emin misin?

$(a+3)^2$ nasıl çıkıyor anlamadım.

---

Peki $f'(1)=0$ ve $x=1$ de fonksiyonun yerel maksimumu varsa acaba $f''(1)<0$ mı yoksa $f''(1)>0$  dır.

---

(2a)²-4.3.b burda b yerine bulduğum b=-2a-3 değerini yazdım. 4a²-4.3.(-2a-3) ten 4a²+24a+36a geliyor 4 le sadeleştirince de a²+6a+9 geliyor oradan yaptım ama yanlış mı olmuş

---

Bunu nasıl düşünmem gerek emin değilim. 2.türev müfredatta yok diye kafamı hiç yormamıştım bu yönden ama nasıl düşünebilirim? 

---

Araştırdım emin değilim ama sanırım f''(1)<0 oluyor biz buna bakıp |a+3|>0 için a=-4 gibi bir şey mi diyeceğiz. 2.türev yorumuna neden ihtiyaç duyduk burada?

---

$\Delta$ hesabın doğru, gerçekten de $(a+3)^2>0$ olmalı.

Fakat, (biri 1 olan) iki kök olması, yerel maksimumun 1 de olması için yeterli değil.

 1 de türevin işaretinin + dan - ye değişmesini gerektiğini kullanamaz mısın?

(Ya da türevin iki kökünden hangisinde yerel maksimum hangisinde yerel minimum olur tahmin edebilir misin?)

---

Nasıl yani hocam evet f(x) in yerel max 1 olması demek 1 den önce işareti + ve f'(x)>0. 1 den sonrası için f(x) - ve f(x)<0 demek evet ama f'(x) in yerel maksimumunu ya da minimumunu tahmin edemedim. 

---

fonksiyon türevinin işaret tablosunu çizdiğinde kökün birisi zaten 1 gelecek.Peki 1 solda(küçük olan) kök mü yaksa büyük olan kök mü?(artan -azalan ilişkisinden)Cevabından sonra kökler toplamı aracılığıyla diğer köküde a cinsinden bulabilirisin.İşte bu kökün 1 ile olan ilişkisinden(büyüklük,küçüklük) soru gelir diye düşünüyorum.

---

$f'(x)$ in köklerinin $a,b$ cinsinden yazarsan,  türevin işaret tablosunu bulabilirsin. Hangi (küçük,büyük?) kökte yerel maksimum oluyor?

Answer 1

Verilen fonksiyon $(1-1)$ noktasında yerel maksimuma sahipse fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır. $f'(x)=3x^2+2ax+b$ olup $f'(1)=3+2a+b=0\rightarrow b=-3-2a$ bulunur.  Diğer taraftan bu polinom üçüncü dereceden olup $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$  ve $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$ olduğundan  fonksiyon önce maksimum yapıp sonra minimum yaparak   $x\to\infty$   için $ f(x)=\infty$ olmaktadır. Yani fonksiyonun türevi iki köke(sağlayıcıya) sahip olmak zorundadır. Fonksiyonun yerel maksimum değerini aldığı $x=1$ köklerden birisidir. Diğer kök fonksiyonun minimuma ulaştığı daha sağ tarafta bir değerdir.  Şimdi türevin iki kökünden daha büyük olanını bulalım.

$f'(x)=3x^2+2ax+b=0$  kökleri $x_1=1 , x_2$ olsun.  $x_1+x_2= -\frac{2a}{3}\Rightarrow 1+x_2=\frac{-2a}{3}\Rightarrow x_2=\frac{-2a-3}{3}$ olur.  Yukarıda yapılan yorumdan $1<x_2=\frac{-2a-3}{3}\Rightarrow a<-3$ olur. O halde $a=-4, b=5,c=-3$ olacaktır.