Bir noktada sağ ve sol türev eşitken o noktadaki türev farklı olabilir mi?

Question

Yukarıda grafiği verilen f' fonksiyonudur. f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
A) (2, 4) aralığında f azalandır.
B) (-$\infty$, -1) aralığında f süreklidir.
C) x = 6 noktasında f süreksizdir.
D) X= -3 noktasında f süreklidir.
E) (-1,2) U {6} aralığında f' tanımsızdır.

Cevap anahtarı C diyor. Aylar önce fotoğrafını çektiğim için cevaba doğru mu yanlış mı baktım emin olamıyorum. Çok önemli değil, benim anlamadığım bir kavram kargaşası var sorudan bağımsız olarak.

Soruda -3 ve 6 apsisli noktalarda sağdan ve soldan türevlerin aynı olduğunu görüyoruz. Bir fonksiyonun sağdan türevli olabilmesi için o noktada sağdan sürekliliğin olması lazım. Sağdan süreklilikte ise o noktada fonksiyonun tanımlı olması lazım. Aynı şekilde soldan türev varsa soldan süreklilik olmalı. Soldan süreklilik varsa fonksiyon yine o noktada tanımlı olmalı. Yanlış anlatmış olabilirim, o yüzden fotoğraf koyuyorum:

Yani süreklilikte sağ-soldan bakıyorsak tanımı da göz önünde bulundurmalıyız.

Şimdi baştaki soruya bakıyorum. 6 apsisli noktada sağdan türev ve soldan türev var ve eşit. İki türev de varsa ve fonksiyon iki taraftan gelirken de bir değere eşit oluyorsa bu değerler birbirine eşit olmalı, diğer türlü fonksiyonluk şartı sağlanmıyor. x=6 iken 2 tane değer vermiş oluyor fonksiyon. Bu yazdıklarımın sonucu olarak şuna ulaşıyorum: Bir fonksiyonun sağdan ve soldan türevinin eşit olması fonksiyonun o noktada türevli olması için yeterlidir.

Sıkıntı şu ki; her yerde yazan bir noktadaki türevlilik şartları "sağ-sol türevlerin eşit olması" + "süreklilik olması" Ancak benim gördüğüm süreklilik ve türev tanımına göre sağdan soldan türevin eşit olması sürekliliği de yanında getiriyor zaten, ekstra olarak böyle bir kural yazmanın anlamı olmuyor.

Benim bildiğim tanımlara göre anlamadığım farklı bir nokta ise sorudaki gibi bir grafiğin çizilemeyecek olması. Yani bir noktada (mesela 6) sağ ve sol türevler eşitse o noktada türevin olmama gibi bir ihtimali yok. Hatta o noktadaki türevin değeri sağ ve sol türevlere eşit olmak zorunda. Sebebi de yukarıda belirttim. Sağdan türevliyse sağdan süreklidir ve fonksiyon tanımlıdır fonksiyonun sözde kesildiği noktada, soldan türevliyse soldan süreklidir ve fonksiyon tanımlıdır ve bu değerler birbirine eşit olmak zorundadır. Hatta şu adreste tartışılan şey benim dediğim şeye geliyor: http://matematikolimpiyatokulu.com/viewtopic.php?f=18&t=643

Hadi diyelim ki benim bildiğim süreklilik tanımı yanlış. Peki şu resimdeki olay nasıl gerçekleşiyor:

 

(Soldaki fonksiyonda sivrilik yok, dümdüz bir fonksiyon olarak düşünelim.)

Yukarıdaki soruda süreklilik için o noktada tanımlı olma zorunluluğunu kaldırırsak soldaki fonksiyonda sağdan ve soldan türevler var oluyor ve fonksiyon sürekli olmadığı için o noktada türevli olmuyor.

Peki sağdaki fonksiyonda?

Sağdaki fonksiyonun solunda kalan uç noktada sağdan türev yok deniyor. 2 tanım birbiriyle çelişiyor.

Ve benim bilgilerim ve düşüncelerim burada son buluyor.

Bildiklerimi de unutmaya çok yakınım. Yukarıdaki "bu böyle" tarzında ifadeler kullandım, tabii ki sadece benim aklıma olanlar bunlar. Yanlışlarımı düzeltirseniz sevinirim.

Comments

Verilen grafikten, $\lim_{x\to6^+}f'(x)$ ve $\lim_{x\to6^-}f'(x)$ var ve eşit görünüyor.

Ama 

$\displaystyle\lim_{x\to6^+}f'(x)$ ile $f$ nin 6 daki sağdan türevi =$\displaystyle\lim_{x\to6^+}\frac{f(x)-f(6)}{x-6}$ aynı şey değil. 

Benzer şeklide:

$\displaystyle\lim_{x\to6^-}f'(x)$ ile $f$ nin 6 daki soldan türevi =$\displaystyle\lim_{x\to6^-}\frac{f(x)-f(6)}{x-6}$ aynı şey değil.

Bu nedenle, $f$ nin 6 da sağdan ve soldan türevi var ve eşit sonucuna varamayız. 

(" Ancak benim gördüğüm süreklilik ve türev tanımına göre sağdan soldan türevin eşit olması sürekliliği de yanında getiriyor zaten, ekstra olarak böyle bir kural yazmanın anlamı olmuyor." konusunda haklısın)

(Bir da son maddede $(-1,2)\cup\{6\}$ kümesine aralık denmese daha iyi olurdu)

(Başka bir ciddi sorun daha var ama o başka bir düzeyde)

---

Doğan Dönmez hocamız grafikteki sıkıntıyı güzelce açıklamış. Böyle bir türev grafiği olamaz.

Üzülerek söylemeliyim ki soruyu yazan yazar arkadaşın daha fazla branşına çalışması gerek. Bazı üniversite hazırlık matematik kitaplarında yukarıdaki soruyla aynı türde bilimsel hatalarla karşılaşıyoruz maalesef.

---

Soruda bizden $f$ nin 6 da sürekli olacağı sonucuna varmamız bekleniyor ama $f$ 6 da TANIMSIZ da olabilir. Örneğin:

$f(x)=\frac{x^3-6x^2}{x-6}=\begin{cases}x^2,\quad x<6\text{ ise}\\ x^2,\quad x>6\text{ ise}\end{cases}$ 

fonksiyonu için 

$f'(x)=\frac{2x^2-12x}{x-6}=\begin{cases}2x,\quad x<6\text{ ise}\\ 2x,\quad x>6\text{ ise}\end{cases}$

olur. 

$\lim_{x\to6^+}f'(x)=\lim_{x\to6^-}f'(x)=12$

(Diğer aranan özellikleri sağlamıyor ama) $f$ (6 da tanımsız olduğu için) süreksizdir. 

(Bu durumu biraz farklı sözcüklerle ifade edenler de var). 

---

Öncelikle cevabınız için teşekkür ederim.

Sorunun çözümü ezbere de olsa anladım. Ezbere diyorum çünkü karışıklık yaratan nokta olan "türevin sağdan/soldan limiti"yle "sağdan/soldan" türevin farkını, üstüne kafa yormama rağmen anlayamıyorum.

$\displaystyle\lim_{x\to6^+}f'(x)$''in $\displaystyle\lim_{x\to6^+}\frac{f(x)-f(6)}{x-6}$'ya eşit olmadığını söylediniz. Bunu teorik olarak anlıyorum. Ancak matematiksel notasyonlar aram çok iyi değil ve kafam da çok basmıyor, onu söyleyeyim. Grafiğe dökünce kafama daha rahat oturuyor.

Türevin grafiğinin, fonksiyonun her noktadaki eğimleri hesaplanarak oluşturulduğunu söyleyebiliriz herhalde. Zaten türevin grafiğinde bir noktadaki değere baktığımızda fonksiyonun o noktadaki eğimini buluyoruz. O zaman türevin grafiğinde bir noktaya sağdan yaklaşsak o noktanın yine sağdan türevini bulmuş olmaz mıyız? Sağdan türev demek bir noktanın hemen sağından çizilen teğetin eğimi değil mi? Yani limit noktadaki eğim olarak düşündüm.

Ayrıca yukarıdaki soru için; -3'te türev var diyoruz. Eğimi sabit olan bir fonksiyon tek noktada nasıl eğimini 2 katına çıkarıp yeniden aynı eğimle devam edebilir? Gözümde canlandıramayınca anlaması zor oluyor. 

---

Başka bir sorun var derken -3 deki durumu kastettim zaten.

-3 deki gibi bir durum imkansız. (türevin Ara Değer Özelliği vardır.)

Ayrıca 6 da (azıcık) farklı bir süreksizlik de mümkün.

$f(x)=\begin{cases}x^2,\quad x\neq6\\0, \qquad x=6\end{cases}$ fonksiyonunda 6 da süreksizlik var.

---

Anladım, hocam. Teşekkürler.

Ancak sonraki cevabımda yazdığım ilk şeyi halen anlamlandıramıyorum. Türevin sağdan/soldan limiti"yle "sağdan/soldan türev" neden farklı şeyler oluyor? Yani aslında kavradım gibi eğer yazacağım şey doğruysa.

 

Bu resimde mesela türevin grafiğinde bir noktaya yaklaştıkça, fonkisyonun o değerdeki eğimine de yaklaşıyoruz. Türevin limiti (aynı fonksiyonlarda limit nasıl bize o noktanın ne olacağını değil de nereye yaklaştığını söylüyorsa) eğimin o noktada nereye yaklaştığını söylüyor bize. Yani türev o noktada tanımlı değilse veya süreklilik yoksa türev o değer olmuyor ama sağdan ve soldan o noktaya doğru gidiyor türev.

Siz aynı ikisi aynı şey değil dediğinizde tamamen farklı şeyler diye algılamıştım ama aslında küçük bir farkla (en azından benim için küçük) farklı şeyler. Bir noktada tanımlı olmayan fonksiyonun o noktadaki limitiyle fonksiyonun o noktadaki değeri gibiler. Umarım doğru anlamışımdır. 2 gündür ders çalışamadım türev düşünmekten.

---

Bununla ilgili bir soru sordum.

---

Şöyle bir fonksiyon da var:

$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1x\quad x\neq0\\0\qquad\qquad x=0\end{cases}$ olsun.

$f'(0)=0$ (sitede bunun gösterilmiş olduğuna eminim) ama $\displaystyle\lim_{x\to0}f'(x)$ yoktur (bunu göstermek biraz çaba gerektiriyor).