Zorlama yöntemi Paul Cohen'in 1963'te süreklilik hipotezinin ve seçim belitinin kümeler kuramı belitlerinden bağımsız olduğunu göstermek için kullandığı bir yöntemdir. Modern kümeler kuramının bağımsızlık kanıtlarında kullandığı en temel yöntemlerinden bir tanesidir. Bugün kümeler kuramındaki bağımsızlık kanıtlarının neredeyse hemen hepsi zorlama yöntemi ile yapılmaktadır. Ek bilgi olarak Cohen'in bu çığır açıcı çalışmasından ötürü Fields Madalyası aldığını da ekleyeyim.
Zorlama yöntemi Cohen'den beri çok iyi anlaşıldığı için zorlamaya pek çok farklı yaklaşım var. Hatta Cohen'in orijinal yaklaşımı günümüzde hemen hemen hiç kullanılmaz. Literatürde Shoenfield'in ve Solovay'in Cohen'in fikirlerini modernize ettiği ve basitleştirdiği yaklaşımlar daha yaygındır.
Bu cevapta bunlardan bir tanesinden söz edeceğim ancak diğer yaklaşımları herhangi bir ileri kümeler kuramı kitabında bulabilirsiniz.
Diyelim ki elimizde ZFC'nin bir modeli $(M,E)$ var. Burada model derken bir küme modeli kastediyorum. Yani $M$ de aslında bir küme. $E$ de $M$ üzerinde bir ikili ilişki öyle ki $(M,E)$ ikilisi ZFC'nin tüm belitlerini modelliyor.
Örnekleyeyim. Tek bir belit alalım, mesela boş küme beliti. $\exists x\ \forall y \neg(y \in x)$. Şimdi $(\mathbb{N}, <)$ yapısını alalım ve $\in$ sembolünü $\mathbb{N}$ üzerindeki $<$ ilişkisi ile yorumlayalım. Bu durumda bu önerme bu yapıda doğrudur. Çünkü modelin evreninde öyle bir $x$ nesnesi vardır ki her $y$ için $\neg (y < x)$ olur.
Tabii ki ZFC'nin diğer aksiyomları bu yapıda doğru değildir. Dolayısıyla bu yapı ZFC'nin bir modeli değildir ancak boş küme aksiyomunun bir modelidir. Şimdi ZFC'nin tüm aksiyomlarını modelleyen $(M,E)$ şeklinde bir yapı olduğunu hayal edin.
Neden böyle bir yapı olmak zorunda diyebilirsiniz tabii. Gödel'in tamlık teoremi gereği eğer ZFC aksiyomları tutarlı ise böyle bir yapı vardır. Ya da böyle bir yapıyı açık açık inşa etmek istiyorsanız erişilemez bir $\kappa$ kardinali için von Neumann hiyerarşisinin $V_{\kappa}$ seviyesi ZFC'nin bir modelidir.
(Genelde işi kolaylaştırması açısından $E$ bağıntısının $M$ üzerindeki gerçek elemanı olmak ilişkisi olduğu ve $M$'nin geçişken bir küme olduğu varsayılır. Bunlar zorlama yöntemini uygulamak için zorunlu varsayımlar değildir ancak dediğim gibi işi kolaylaştırıyorlar. Bu tip modellere standart geçişken model diyelim. Löwenheim-Skolem teoreminin bir sonucu olarak eğer ZFC'nin bir standart geçişken modeli varsa, sayılabilir bir standart geçişken modeli de vardır.)
Şimdi ZFC'nin sayılabilir bir standart geçişken modeli $(M,\in)$'yi alalım. Zorlama yönteminde yapılan $M$ kümesinde olmayan bir $G$ kümesi bulmaktır öyle ki ZFC'nin $M$'yi genişleten ve $G$'yi içeren bir modeli vardır (bu modeli $M[G]$ ile gösterelim) ve bu model tutarlı olduğunu göstermek istediğimiz cümleyi modeller.
Örnekleyeyim. Diyelim ki süreklilik hipotezinin ZFC belitleri ile kanıtlanamayacağını kanıtlamak istiyoruz. Yani süreklilik hipotezinin değilinin ZFC ile tutarlı olduğunu göstermek istiyoruz.
ZFC'nin sayılabilir standart geçişken herhangi bir $(M,\in)$ modeliyle başlayalım. $Fn(I,J)$, $I$'dan $J$'ye tüm sonlu kısmi fonksiyonların kümesini temsil etsin. Bu kümeyi $x \leq y \leftrightarrow y \subseteq x$ bağıntısı altında bir kısmi sıralamaya dönüştürebiliriz. $M$ içerisinde $M$ modelinin $Fn(\omega_2 \times \omega,2)$ olduğuna inandığı bir $Fn(\omega_2 \times \omega,2)^M$ kümesi vardır. $M$ sayılabilir ve geçişken bir küme olduğu için öyle bir $G$ filtresi vardır ki $G$ kümesi bu kısmi sıralamanın $M$ içerisindeki tüm yoğun kümeleri ile kesişir.
Zorlama teoremi gereği ZFC'nin bir $M[G]$ modeli olduğu ve bu modelin $2^{\omega} \geq \omega_2$ cümlesini sağladığı kanıtlanabilir. Yani süreklilik hipotezi bu modelde yanlıştır. Benzer şekilde, başka bir kısmi sıralama kullanarak süreklilik hipotezinin doğru olduğu bir model de zorlayabiliriz. ZFC'nin süreklilik hipotezinin doğru ve yanlış olduğu modellerini bulabildiğimiz için bunun bir sonucu olarak ZFC süreklilik hipotezinin ne kendisini ne de değilini kanıtlayabilir.
(Yukarıdaki teknik terimlerin ne olduğunu şimdilik boşverin zira bu cevabın amacı zorlamanın genel yaklaşımını anlatmak. Sadece bahsettiğim şeyleri somutlaştırmak için bir örnek vermek istedim. Detaylar için daha sonra vereceğim referansları okuyabilirsiniz.)
Kısaca zorlama tekniğinin arkasındaki fikir, ZFC'nin bir modelini alıp, o model içerisinde "akıllıca" seçilmiş bir kısmi sıralama için "generic" bir küme inşa edip modeli "generic" kümeyi içerecek şekilde genişletmek ve bu genişleme içerisinde çeşitli önermelerin istediğiniz doğruluk değerini almasını sağlamaktır.
Bu şekilde matematiğin çeşitli alanlarındaki pek çok önermenin ZFC'den bağımsız olduğu kanıtlanabilir. Tabii yazdıklarım sadece yapılanın bir özetinden ibaret. Ne yazık ki yöntemin kendisinin buraya sığdırılabilecek kadar kısa bir şekilde anlatılabileceğini sanmıyorum. O yüzden size referans kitap önerebilirim.
Kunen'in "Set Theory: An Introduction to Independence Proofs" kitabı zorlama yönteminin kutsal kitabıdır. Bunun dışında, yukarıdaki standart geçişken model yaklaşımından ziyade Boolean-değerli model yaklaşımını kullanan bir perspektif için Jech'in "Set Theory" kitabını okuyabilirsiniz.