$$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a $$
olması için
$$(\forall\epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\in\mathbb{N})(n>N \Rightarrow |x_n-a|<\epsilon) \ \ ...(*)$$
önermesinin doğru olması gerekir. Şimdi $(*)$ önermesinin doğru olduğunu düşünelim.
Yani her $\epsilon>0$ sayısı ve her $ n>N $ için
$$|x_n-a|< \epsilon$$
eşitsizliğini sağlayan bir $N$ doğal sayısı vardır. Diğer taraftan
$$n>N \Rightarrow (N\leq n \ \wedge \ n\neq N)\Rightarrow N\leq n$$
ve
her $\epsilon>0$ sayısı için $(*)$ önermesi doğru olduğundan
$$ \epsilon:=\dfrac \epsilon 2 >0$$
sayısı içinde doğru olur. Bu bilgiler ışığı altında
$$(\forall \frac \epsilon 2 >0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\in\mathbb{N})(N\leq n \Rightarrow |x_n-a|< \dfrac \epsilon 2) $$
önermesi de doğru olur.