Lipschitz Süreklilik-V

Question

$A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f,g\in\mathbb{R}^A$ olmak üzere

$$``(f, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli})(g, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli})\Rightarrow f\cdot g, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli}"$$ önermesinin doğru olmayabileceğine dair bir örnek veriniz.

Yani Lipschitz sürekli iki fonksiyonun çarpımının Lipschitz sürekli olmayabileceğine dair bir örnek veriniz.

Answer 1

$$ f(x)=x $$

kuralı ile verilen

$$ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $$

fonksiyonu $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli

ve 

$$ g(x)=\sin{x} $$

kuralı ile verilen

$$ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $$

fonksiyonuda $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli olmasına karşın

 $$h(x)=f(x).g(x)=x.\sin{x} $$

kuralı ile verilen

$$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$

fonksiyonu $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli olmadığından söz konusu önerme yanlıştır.

Comments

$h$ fonksiyonunun neden Lipschitz sürekli olmadığının yanıtı bu linkte mevcut.

---

Murad hocam $f$ ve $g$ fonksiyonları $(0,1)$ aralığında olsalar $h(x):=x\cdot\sin x$ kuralı ile verilen $h$ fonksiyonu Lipschitz sürekli veya bu aralıkta düzgün sürekli olur mu?

---

Bu linkte yer alan teorem gereği $K=2$ seçilirse her $x\in (0,1)$ için $$|h'(x)|=|\sin x +x\cdot \cos x|\leq |\sin x|+|x\cdot\cos x|\leq 1+|x|\overset{x\in (0,1)}{\leq} 2$$ olduğundan $$h(x):=x\cdot \sin x$$ kuralı ile verilen $$h:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu Lipschitz süreklidir. Her Lipschitz sürekli fonksiyon düzgün sürekli olduğundan $h$ fonksiyonu aynı zamanda da düzgün sürekli olur.  

---

Teşekkürler hocam.

---

Aralığı $[0,1]$  olarak alsaydık, kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon aynı zamanda düzgün sürekli olacağından bunu direkt de söyleyebilirdik sanırım.

---

Evet doğru. Düzgün sürekli olduğu böyle de söylenebilir.