Eğer $f$ ölçülebilir fonksiyon ise $\left| f\right| $ ve $\left| f\right| ^{p}$ ölçülebilir fonksiyondur.

Question

Teorem : Eğer $E$'de $f$ ölçülebilir fonksiyon ise aynı tanım kümesinde $\left| f\right| $ ve $\left| f\right| ^{p}$ ölçülebilir fonksiyondur. ($p > 0$)

 $\left| f\right|$ için :

1)$f$in ölçülebilir olduğunu biliyoruz o halde $E$ ölçülebilir kümedir ve $\left| f\right|$in tanım kümesi $E$ olduğu için ilk koşul sağlanıyor.

2)$ \{ x\in E:\left| f\right|>c\} = \{ x\in E: f>c\}\cup\{ x\in E: f <-c\} $ , $f$ ölçülebilir olduğundan bu iki küme ölçülebilirdir.Birleşimleride ölçülebilirdir.Sonuç olarak $\left| f\right| $ ölçülebilirdir.

$\left| f\right| ^{p}$ için :

1*) 1) şıkkı ile aynısı

2*) Burada tıkandım ne yapabilirim ?

Comments

ya da şu yeterli olur mu ?

Sürekli fonksiyonlar ölçülebilirdir. $\left| f\right|$ süreklidir o halde ölçülebilirdir.$\left| f\right| ^{p}$ = $ p . \left| f\right| $ biliyoruz ki ölçülebilir fonksiyonların lineer kombinasyonlarıda ölçülebilirdir o halde $\left| f\right| ^{p}$ de ölçülebilirdir.

---

yorumunu anlamadim.

$|f|= |\cdot|\circ f$ ve
$p>0$ icin  $|f|^p= |\cdot|^p\circ f$.

Burada $|\cdot|^p$ fonksiyonunun ozelligini kullanmayi deneyebilirsin. 

Answer 1

$|f|$ için

$|f|= |\cdot|\circ f$ , mutlak değer fonksiyonu süreklidir ve açık kümenin bu fonksiyonda ters görüntüsüde açıktır.  $ (|\cdot|\circ f) ^{-1}(O)) =, $ (O bir açık küme.) $f^{-1}\left( |\cdot|^{-1}\left( O\right) \right) =f^{-1}\left( \overline {O}\right) $ ölçülebilirdir.

Teoreme göre $|f|$ ölçülebilir fonksiyondur.

aynısını $|f|^p$ için uygulanmalı.

$|f|^p$ için:

$|f|^p = $$|.|^p \circ f$ , mutlak değerli fonksiyon süreklidir , açık kümenin bu fonksiyonda ters görüntüsüde açıktır.

$(|.|^p \circ f)^{-1}(O)=$ , (O bir açık küme) $= f^{-1}\left( (|\cdot|^p)^{-1}\left( O\right) \right) =f^{-1}\left( \overline {O}\right) $ ölçülebilirdir.