Question

$f(x)=\frac{kx-3}{2x+k+7}$ ve $g(x)=1-4x$ fonksiyonları verilmiştir.

$(f\!\circ\! g)(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi ile en geniş değer kümesi birbirine eşittir. Buna göre $k$ değeri kaçtır?

Comments

Bileşi $(f\circ g)(x)$ fonksiyonun yazabilir misin?

---

$(fog)(x)=\frac{-4kx-3+k}{-8x+k+9}$ buyurun hocam.

---

Bu fonksiyon

hangi sayıda tanımsız?

hangi değeri alamaz?

---

$x=\frac{k+9}{8}$ fonksiyonu tanımsız yapar. Hangi değeri alamayacağı ise tahmin edebildiğim kadarıyla k'nin değerine göre değişir muhtemelen.

---

Onu da bulmanın kolay bir yolu var ama,

başka açıdan bakabilirsin.

Ters fonksiyonun tanımsız olduğu sayıyı değer olarak alamaz.

Onu  (ters fonksiyonun tanımsız olduğu sayı) bulabilir misin?

---

Fonksiyonun tersini tanımsız yapan sayıyı $x=\frac{k}{2}$ olarak buldum.

---

Yaptım hocam çok teşekkür ederim.

---

yusufkoc, 

çözümünü de yazarsan, hem soru cevapsız olarak görünmez, hem de sen de puan kazanırsın!

---

Fonksiyonun kendisini ve tersini tanımsız yapan x değerlerinin birbirine eşit olduğunu nasıl anladık hocam?

---

Bu tip fonksyonlarda ($f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ tipi)  sabit değil ($ad-bc\neq0$ ) ise,   en çok bir noktada tanımsız olur (apaçık). Burada, payda $8x+$sabit olduğu için bir (paydayı 0 yapan) noktada tanımsız olur.

Bu fonksiyonların tersi de aynı tip fonksiyon olduğu için, o da en çok bir noktada tanımsız oluyor. Bu nedenle, istenen durumun oluşması için, tersinin  de aynı noktada tanımsız olması gerekli ve yeterlidir.

Answer 1

$(fog)(x)$ fonksiyonunun tanım ve değer kümesinin eşit olabilmesi için aynı $x$ değerinin hem normal fonksiyonu hem de ters fonksiyonu tanımsız yapması gerekir. Dolayısıyla $x=\frac{k+9}{8}$ ve $x=\frac{k}{2}$ değerlerini birbirine eşitleyerek $k$ değerini bulabiliriz.