$x,y,z\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$(x<y)(0<z)\Rightarrow xz<yz$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Bu linkteki aksiyomlara sadık kalarak yapınız.

 

Not: $x,y\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$x<y:\Leftrightarrow (x\leq y)(x\neq y)$$

Answer 1

$ xz=yz$ olduğunu varsayalım ve $[ x<y \ \wedge \ 0<z]$ olsun.
 

$$xz < yz \Rightarrow (xz\leq yz ) (xz\neq yz ) $$

olduğundan $$[xz\leq yz \ \wedge \ xz\neq yz] $$

önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\left.\begin{array}{rr} (x<y \ \wedge \ 0<z) \Rightarrow x<y \Rightarrow x\leq y \\ \\ (x<y \ \wedge \ 0<z) \Rightarrow 0<z \Rightarrow 0\leq z \end{array}\right\} \overset{ÇS} \Rightarrow xz\leq yz \ ...(1)$

olur. Diğer taraftan 

$\begin{array}{rcl} xz=yz & \Rightarrow & (xz,z^{-1})=(yz,z^{-1}) \\ & \Rightarrow & .(xz,z^{-1})= \ .(yz,z^{-1}) \\ & \Rightarrow & (xz).z^{-1}=(yz).z^{-1} \\ & \Rightarrow & x.(z.z^{-1})=y.(z.z^{-1}) \\ & \Rightarrow & x.1=y.1 \\ & \Rightarrow &  \left.\begin{array}{rr}  x=y \\ \\ x<y \Rightarrow x\neq y \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.} \end{array}$

O halde varsayımımız yanlıştır. Yani 

$$xz\neq yz \ ...(2)$$

olur. Yani 

$$(1),(2) \Rightarrow [xz\leq yz \ \wedge xz\neq yz ].$$

Answer 2

$x<y$  ve  $0<z$ olsun. Amacımız $$xz<yz$$ olduğunu göstermek. Bunun için $``<"$ bağıntısının tanımı gereği $$xz\leq yz$$ ve $$xz\neq yz$$ olduğunu göstermeliyiz.

$$\left.\begin{array}{rr}x<y\Rightarrow (x\leq y)(x\neq y)\Rightarrow x\leq y \\ \\ 0<z\Rightarrow (0\leq z)(0\neq z)\Rightarrow 0\leq z \end{array}\right\} \Rightarrow xz\leq yz\ldots (1)$$

Şimdi

$$xz\neq xy$$ olduğunu göstermek için $$xz\neq xy$$ önermesinin doğru olmadığını yani $$xz=yz$$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr}xz=yz \\ \\ 0<z\Rightarrow (0\leq z)(0\neq z)\Rightarrow 0\neq z \Rightarrow (\exists t\in \mathbb{R}\setminus\{0\})(zt=tz=1)\\  \end{array}\right\} \Rightarrow (xz,t)=(yz,t)$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow \cdot(xz,t)=\cdot(yz,t)\Rightarrow (xz)t=(yz)t\Rightarrow x(zt)=y(zt)\Rightarrow x1=y1\Rightarrow x=y \\ \\ x<y\Rightarrow (x\leq y)(x\neq y)\Rightarrow x\neq y \end{array}\right\}\Rightarrow \text{Çelişki}$

O halde varsayımımız yanlış yani $$xz\leq yz\ldots (2)$$

$$(1),(2)\Rightarrow (xz\leq yz)(xz\neq yz)\Rightarrow xz<yz.$$