En azindan sunu yazabiliriz.
Egrinin $x$ ekseni etrafinda dondurulmesiyle olusan yuzey alani $S$ olsun.
$S=2\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}y(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt\quad$, $\alpha\leq t\leq\beta$
Ben $x$ ekseni yani $y=0$ dogrusu etrafinda dondurulunce olusan yuseyin alanini bulayim, kendi sorunuzu benzer seklide cozersiniz.
$(x,y)=(0,a) $ olmasi icin $t=\frac{\pi}{2}=\beta$ ve $(x,y)=(a,0) $ olmasi icin $t=0=\alpha$ olmali. Bu sinirlar sadece sag taraftaki (y=eksenin sagi) yuzey alanini verir. Bunu 2 yle carparak toplam yuzeyi buluruz, yuzey simetrik oldugu icin.
\begin{align}S=&4\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin^3(t)\sqrt{[-3a\cos^2(t)\sin(t)]^2+[3a\sin^2(t)\cos(t)]^2}dt\\=&4\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin^3(t)\sqrt{9a^2\cos^4(t)\sin^2(t)+9a^2\sin^4(t)\cos^2(t)]}dt\\=&4\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin^3(t)\sqrt{9a^2\cos^2(t)\sin^2(t)[\cos^2(t)+\sin^2(t)]}dt\\=&4\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a^2\sin^4(t)\cos(t)dt\\=&12a^2\pi\displaystyle\int_{0}^{1} u^4du\\=&12a^2\pi \frac{u^5}{5}\Big|_{0}^{1}\\=&\frac{12a^2\pi}{5}\end{align}
Tabi sizin sorunuzda donme ekseni $y=x$ dogrusu. Ders notlarinizda varsa buraya ekleyebilirsiniz genel formulu.