Üç Yapraklı Gül İle Çember Arasında Kalan Alan

Question

r = 6sin3θ gülünün içinde ve r = 3 çemberinin dışında kalan bölgenin alanı isteniyor. 

Gülün yapraklarının uzunluğu 6 oluyor ve θ nın katsayısı 3 olduğu için üç yapraklı oluyor. 

Aşağıdaki şekilde grafiği çizip alanı belirlemeye çalıştım ama devamını getiremedim. Yardımcı olabilir misiniz?

Comments

Kutupsal koordinatlarda (denklemi verilen) bölgenin alanının bulmayı biliyor musunuz?

---

Evet hocam ama sınırlarını belirlemekte sıkıntı yaşıyorum.

---

Önce, çember ile 3 yapraklı gülün kesişme noktalarını bulman gerekiyor.

---

Hocam çizdiğim grafikten de anlaşılacağı üzere üç tane eş alanın oluştuğunu düşünerek birinci bölgede gül ile çemberin kesişimini θ=π/18 buldum.

---

Çember, senin doğru çiziminki gibi, her yaprağı iki kez kesiyor. Diğer nokta için $\theta$ yı da simtriden kolayca bulabilirsin

---

θ=π/18 ve θ=35π/18, r'nin sınırları da 3 ve 6 mı oluyor hocam?

---

1. $r=6\cos\theta$ nereye gitti?
2. integralin içine ne yazılacak?

---

r=6Sin3θ mı yoksa r=6cosθ mı hocam?

---

$r=6\sin(3\theta)$,  $ y$ eksenine gore simetriktir, dolayisiyla grafiginiz yanlis.

---

Sanırım doğrusu böyle olmalı. 

---

Evet bu sekil dogru.

---

Evet haklısın, ben soruya değil, şekle bakarak, $r=6\cos3\theta$ olmalı diye düşündüm (3 ü de yazmayı unutmuşum).

Şimdi çizilen şekil elbette $r=6\sin3\theta$ eğrisi. Aynı yaprağı iki defa kesiyor çember. Diğer $\theta=?$

Ve daha önemlisi hangi fonksiyonun integral alınacak?

---

Çok teşekkür ederim hocam.

Answer 1

Sari tarali bolgenin alanini bulup $6$ ile carpmak yeterli.

Toplam alan $ =6\left[\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{6}}\Big(\big[6\sin(3\theta)\big]^2-\big[3\big]^2\Big)d\theta\right]$

 

Alternatif olarak

Sari tarali bolgenin alanini bulup $3$ ile carpmak yeterli.

Toplam alan $ =3\left[\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{13\pi}{18}}\Big(\big[6\sin(3\theta)\big]^2-\big[3\big]^2\Big)d\theta\right]$

Comments

Hocam çok teşekkür ederim.

İlk çözümde ve altenatif çözümde üst sınırı nasıl belirlediğinizi anlayamadım. Mümkünse izah edebilir misiniz?

---

Alan $=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}r^2d\theta$  ile verilir.

 

Ilki icin ust sinir soyle bulunur. Ne zaman $r=6$ olur, yani max olur? Bunun icin $\sin(3\theta)=1$ olmali, burdan $\theta=\frac{\pi}{6}$ cikar.

 

Ikinci cozum icin ust sinir soyle bulnur. $6\sin(3\theta)=3\implies\sin(3\theta)=\frac{1}{2}\implies3\theta=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}\implies \theta=\frac{1}{3}\Big(\frac{\pi}{6}+2\pi k\Big),\quad k\in \mathbb{Z}$

$k=0\implies\theta=\frac{\pi}{18}$  alt sinir.

$k=1\implies\theta=\frac{13\pi}{18}$ ust sinir.

---

Çok teşekkür ederim hocam.