Göremediğin yer : Dönüşüm diyor ki içimdeki matrisin 2.satırının 2.sütununu dışarı çıkarırım :)
Bu dönüşümün homomorfizma tanımı: $H$ ve $Z$ iki halka olmak üzere $\varphi :H\rightarrow Z$ dönüşümü $\forall\begin{bmatrix}a & b \\0 & c\end{bmatrix},\begin{bmatrix}d & e \\0 & f\end{bmatrix}\in H$ için..
1) $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\right) +\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$
2) $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ o & c \end{bmatrix}\right) .\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$
koşulları sağlanıyorsa bu dönüşüme bir halka homomorfizması adı verilir.
Şimdi 1) ve 2) koşullarının sağlanıp sağlanmadığına bakalım..
1) $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ o & c \end{bmatrix}\right) +\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$ (?)
$\varphi\left( \begin{bmatrix}a+d & b+e \\0 & c+f\end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ o & c \end{bmatrix}\right) +\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=c+f=c+f$ olup 1) koşul sağlanır.
2) $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\right) .\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$ (?)
$\varphi \left( \begin{bmatrix}ad & ae+bf \\0 & cf\end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\right) .\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=cf=c.f$ olup 2) koşulda sağlanır.
O halde $\varphi :H\rightarrow Z$ dönüşümü bir halka homomorfizmasıdır deriz.