$\lfloor x \rfloor = -\frac{1}{2}+x+\frac{\arctan(\cot(\pi x))}{\pi}$ eşitliği nereden geliyor?

Question

Bu ifadeye nerede rastladığımı şuan hatırlamıyorum. Tekrar bak diye kendime not düşmüşüm.

$\lfloor x\rfloor = -\frac{1}{2}+x+\frac{\arctan(\cot(\pi x))}{\pi}$ eşitliği nereden geliyor?

Comments

Eşitliğin sol tarafı tam olarak neyi ifade ediyor?

---

tam değer x hocam.

---

Sitede buna benzer soru sorulduğunda soru kapatılıyor.Daha doğrusu denemeleriniz bekleniyor yazıp kapatılıyor.

---

Denemelerin yazılması prensibi uygulanıyor genel olarak. Bazı durumlarda denemenin çok bir manası olmuyor. Böyle durumlarda yorumlar üzerinden bir diyalog ile ilerliyor. Yanisi her duruma aynı şekilde uygulanan bir kural gibi değil, makul yerlerde kullanılan bir prensip gibi düşünmek lazım sanırım.

---

Peki neden böyle bir eşitlik? Sadece gözlem mi yoksa bir anlamı var mıdır?

---

İntegrallerde vs kullanışlı oldu da mı aklına geldi birisinin.s

---

"Tam değer fonksiyonunun da bir Taylor serisimsi bişeyi yok mudur?" diye bakınırken karşıma çıkmıştı. Kim neden böyle bir eşitliğe ihtiyaç duydu nerede kullandı ben de merak içindeyim.

---

Burada hesaplanmış: https://math.stackexchange.com/a/14959

Answer 1

$x\in\mathbb{Z}$  ise sağ taraf aslında tanımsız.

Ama şu şekilde varsaydığımızda eşitlik sağlanıyor.

$x\in\mathbb{Z}$ için

$\cot x=\infty$ ve $\arctan \infty=\frac\pi2$ KABUL EDERSEK,

iki tarafın eşit olduğu kolayca görülür.

$x\notin\mathbb{Z}$ olsun.

$\cot$ fonksiyonunun periyodu $\pi$ olduğu için.

$\cot(\pi x)=\cot (\pi(x-\lfloor x\rfloor))$

ve $0<\pi(x-\lfloor x\rfloor)<\pi$ olur.

$\begin{align*}\cot(&\pi(x-\lfloor x\rfloor))\\&=\tan(\frac\pi2-(\pi(x-\lfloor x\rfloor)))\end{align*}$  

ve $ -\frac\pi2<\theta=\frac\pi2-(\pi(x-\lfloor x\rfloor))<\frac\pi2$ dir.

Bu nedenle, $\arctan (\tan\theta)=\theta$ olur ve:

$\begin{align*}\arctan(&\cot(\pi x))\\&=\arctan(\tan(\frac\pi2-(\pi(x-\lfloor x\rfloor)))\\&=\frac\pi2-(\pi(x-\lfloor x\rfloor))\\&=\frac\pi2-\pi x+\pi\lfloor x\rfloor\end{align*}$

Buradan:

$\begin{align*}-&\frac12+x+\frac{\arctan(\cot(\pi x)) }{\pi}\\&=-\frac12+x+\frac12-x+\lfloor x\rfloor\\& =\lfloor x\rfloor\end{align*}$

elde ederiz.

Comments

Çok teşekkür ederim hocam, ellerinize sağlık.